Номер 1, страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равна сумма шести первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 32$, а знаменатель прогрессии равен $-\frac{1}{2}$?

1) $\frac{63}{4}$

2) 21

3) $\frac{189}{4}$

4) 42

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) используется формула:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

где $b_1$ – первый член прогрессии, $q$ – знаменатель прогрессии, $n$ – количество членов.

По условию задачи нам даны:

• Первый член прогрессии: $b_1 = 32$
• Знаменатель прогрессии: $q = -\frac{1}{2}$
• Количество членов для суммирования: $n = 6$

Подставим эти значения в формулу:

$S_6 = \frac{32 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^6)}{1 - (-\frac{1}{2})}$

Сначала вычислим степень знаменателя:

$(-\frac{1}{2})^6 = \frac{(-1)^6}{2^6} = \frac{1}{64}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$S_6 = \frac{32 \cdot (1 - \frac{1}{64})}{1 + \frac{1}{2}}$

Вычислим числитель и знаменатель дроби отдельно.

Выражение в скобках в числителе:

$1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$

Весь числитель:

$32 \cdot \frac{63}{64} = \frac{32 \cdot 63}{64} = \frac{63}{2}$

Знаменатель:

$1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь найдем итоговое значение суммы, разделив числитель на знаменатель:

$S_6 = \frac{\frac{63}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{63}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{63}{3} = 21$

Проверка:

Можно найти все шесть членов и сложить их.

$b_1 = 32$

$b_2 = 32 \cdot (-\frac{1}{2}) = -16$

$b_3 = -16 \cdot (-\frac{1}{2}) = 8$

$b_4 = 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = -4$

$b_5 = -4 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2$

$b_6 = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$

Сумма: $S_6 = 32 + (-16) + 8 + (-4) + 2 + (-1) = 32 - 16 + 8 - 4 + 2 - 1 = 16 + 4 + 1 = 21$

Ответ: 21