Номер 3, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Геометрическая прогрессия ($b_n$) задана формулой $n$-го члена $b_n = 3 \cdot 5^{n-1}$. Найдите сумму четырёх первых членов прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, заданная формулой n-го члена $b_n = 3 \cdot 5^{n-1}$. Требуется найти сумму первых четырёх членов этой прогрессии ($S_4$).

Для решения задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Прямое вычисление членов прогрессии

Найдем первые четыре члена прогрессии, подставляя в заданную формулу значения $n = 1, 2, 3, 4$.

Первый член ($n=1$): $b_1 = 3 \cdot 5^{1-1} = 3 \cdot 5^0 = 3 \cdot 1 = 3$.

Второй член ($n=2$): $b_2 = 3 \cdot 5^{2-1} = 3 \cdot 5^1 = 15$.

Третий член ($n=3$): $b_3 = 3 \cdot 5^{3-1} = 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$.

Четвёртый член ($n=4$): $b_4 = 3 \cdot 5^{4-1} = 3 \cdot 5^3 = 3 \cdot 125 = 375$.

Теперь найдём сумму этих четырёх членов:

$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 3 + 15 + 75 + 375 = 468$.

Способ 2: Использование формулы суммы геометрической прогрессии

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Из формулы n-го члена $b_n = 3 \cdot 5^{n-1}$ (которая соответствует общей формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$) видно, что первый член прогрессии $b_1 = 3$, а знаменатель прогрессии $q = 5$.

Нам нужно найти сумму первых четырёх членов, то есть $n=4$. Подставим эти значения в формулу суммы:

$S_4 = \frac{3 \cdot (5^4 - 1)}{5 - 1}$

Вычислим значение выражения:

$S_4 = \frac{3 \cdot (625 - 1)}{4} = \frac{3 \cdot 624}{4}$

Сократим дробь: $624 \div 4 = 156$.

$S_4 = 3 \cdot 156 = 468$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 468