Номер 1, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равна сумма четырёх первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 5$, а знаменатель прогрессии равен 4?

1) 105

2) 255

3) 425

4) 1280

1. Для решения этой задачи нужно найти сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии. Воспользуемся стандартной формулой для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $S_n$ – это сумма первых $n$ членов, $b_1$ – первый член прогрессии, а $q$ – её знаменатель.

По условию задачи нам известны следующие параметры:

Первый член прогрессии $b_1 = 5$.
Знаменатель прогрессии $q = 4$.
Количество членов, сумму которых нужно найти, $n = 4$.

Подставим эти значения в формулу:

$S_4 = \frac{5(4^4 - 1)}{4 - 1}$

Теперь выполним вычисления по шагам:

1. Сначала вычислим степень в числителе: $4^4 = 256$.

2. Подставим это значение в формулу:

$S_4 = \frac{5(256 - 1)}{4 - 1} = \frac{5 \times 255}{3}$

3. Теперь можно сократить дробь, разделив 255 на 3:

$255 \div 3 = 85$

4. Наконец, умножим полученное число на 5:

$S_4 = 5 \times 85 = 425$

Таким образом, сумма первых четырёх членов данной геометрической прогрессии равна 425.

Альтернативный способ решения:

Можно последовательно найти первые четыре члена прогрессии и сложить их.

Первый член: $b_1 = 5$.
Второй член: $b_2 = b_1 \times q = 5 \times 4 = 20$.
Третий член: $b_3 = b_2 \times q = 20 \times 4 = 80$.
Четвёртый член: $b_4 = b_3 \times q = 80 \times 4 = 320$.

Теперь найдём их сумму:

$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 5 + 20 + 80 + 320 = 425$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 425