Номер 5, страница 91, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 15, а сумма второго и четвёртого её членов равна -30. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, сумма первого и третьего членов равна 15. Запишем это в виде уравнения:

$b_1 + b_3 = 15$

Используя формулу n-го члена, получаем:

$b_1 + b_1 \cdot q^{3-1} = 15$

$b_1 + b_1 q^2 = 15$ (1)

Также, по условию, сумма второго и четвёртого членов равна -30. Запишем второе уравнение:

$b_2 + b_4 = -30$

Используя формулу n-го члена, получаем:

$b_1 \cdot q^{2-1} + b_1 \cdot q^{4-1} = -30$

$b_1 q + b_1 q^3 = -30$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} b_1 + b_1 q^2 = 15 \\ b_1 q + b_1 q^3 = -30 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} b_1(1 + q^2) = 15 \\ b_1 q(1 + q^2) = -30 \end{cases}$

Разделим второе уравнение на первое. Это допустимо, так как правая часть первого уравнения не равна нулю (15 ≠ 0), следовательно, и левая часть не равна нулю.

$\frac{b_1 q(1 + q^2)}{b_1(1 + q^2)} = \frac{-30}{15}$

Сократив одинаковые множители $b_1$ и $(1 + q^2)$, найдем значение знаменателя $q$:

$q = -2$

Теперь подставим найденное значение $q = -2$ в первое уравнение системы, чтобы найти первый член прогрессии $b_1$:

$b_1(1 + (-2)^2) = 15$

$b_1(1 + 4) = 15$

$5b_1 = 15$

$b_1 = \frac{15}{5}$

$b_1 = 3$

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 3, а её знаменатель равен -2.

Ответ: первый член $b_1 = 3$, знаменатель $q = -2$.