Номер 3, страница 91, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана условиями $b_1 = -\frac{4}{9}$, $b_{n+1} = -1.5b_n$. Найдите $b_4$.

По условию, нам дана геометрическая прогрессия ($b_n$), которая задана следующими условиями:

Первый член прогрессии: $b_1 = -\frac{4}{9}$.

Рекуррентная формула для нахождения последующих членов: $b_{n+1} = -1,5 \cdot b_n$.

Из определения геометрической прогрессии известно, что каждый последующий член равен предыдущему, умноженному на постоянное число $q$, которое называется знаменателем прогрессии: $b_{n+1} = q \cdot b_n$.

Сравнивая эту общую формулу с данной в условии, мы можем определить знаменатель прогрессии $q$:

$q = -1,5$.

Для удобства дальнейших вычислений, представим знаменатель в виде обыкновенной дроби:

$q = -1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$.

Требуется найти четвертый член прогрессии, $b_4$. Для этого воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим в эту формулу $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$.

Теперь подставим известные значения $b_1 = -\frac{4}{9}$ и $q = -\frac{3}{2}$:

$b_4 = \left(-\frac{4}{9}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^3$.

Сначала возведем знаменатель в куб:

$\left(-\frac{3}{2}\right)^3 = -\frac{3^3}{2^3} = -\frac{27}{8}$.

Теперь выполним умножение:

$b_4 = \left(-\frac{4}{9}\right) \cdot \left(-\frac{27}{8}\right)$.

Произведение двух отрицательных чисел положительно. Сократим дроби:

$b_4 = \frac{4 \cdot 27}{9 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2}$.

Переведем полученную обыкновенную дробь в десятичную:

$b_4 = 1,5$.

Ответ: 1,5