Номер 4, страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Выписано несколько членов геометрической прогрессии: ..., 24, 8, x, $\frac{8}{9}$, ... Найдите значение x.

Дана последовательность членов геометрической прогрессии: ..., 24, 8, $x$, $\frac{8}{9}$, ... .

Для нахождения значения $x$ можно воспользоваться определением геометрической прогрессии. В геометрической прогрессии каждый последующий член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число — знаменатель прогрессии, который обозначается буквой $q$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$, используя два известных идущих подряд члена: 24 и 8. Для этого разделим последующий член на предыдущий:

$q = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.

Теперь, зная знаменатель, можно найти $x$. Член $x$ следует за членом 8, поэтому для его нахождения нужно 8 умножить на знаменатель $q$:

$x = 8 \cdot q = 8 \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$.

Для проверки правильности результата можно найти следующий член, умножив полученное значение $x$ на $q$. Он должен быть равен следующему известному члену, то есть $\frac{8}{9}$.

$x \cdot q = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{8 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{8}{9}$.

Результат совпадает с условием, следовательно, значение $x$ найдено верно.

Существует и второй способ решения, использующий характеристическое свойство геометрической прогрессии: квадрат любого члена прогрессии (начиная со второго) равен произведению его соседних членов. Для трёх последовательных членов $b_{n-1}, b_n, b_{n+1}$ выполняется равенство $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.

Рассмотрим тройку последовательных членов 24, 8, $x$. В этой тройке число 8 является средним членом.

Применяя свойство, получаем уравнение:

$8^2 = 24 \cdot x$

$64 = 24x$

Выразим $x$:

$x = \frac{64}{24}$

Сократив дробь на 8, получаем тот же результат:

$x = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$