Страница 91 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какая из данных последовательностей является геометрической прогрессией?

1) -15, 30, 45, -60

2) 30, 10, -10, -30

3) -25, 20, -15, 10

4) 10, -20, 40, -80

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, не равное нулю. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой $q$. Для того чтобы последовательность была геометрической прогрессией, отношение любого её члена к предыдущему должно быть постоянным: $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$.

Проверим каждую из предложенных последовательностей на соответствие этому определению.

1) -15, 30, 45, -60

Найдем отношение второго члена к первому: $q_1 = \frac{30}{-15} = -2$.

Найдем отношение третьего члена ко второму: $q_2 = \frac{45}{30} = 1.5$.

Поскольку $q_1 \neq q_2$ ($-2 \neq 1.5$), знаменатель не является постоянной величиной. Следовательно, эта последовательность не является геометрической прогрессией.

2) 30, 10, -10, -30

Найдем отношение второго члена к первому: $q_1 = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.

Найдем отношение третьего члена ко второму: $q_2 = \frac{-10}{10} = -1$.

Поскольку $q_1 \neq q_2$ ($\frac{1}{3} \neq -1$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.

3) -25, 20, -15, 10

Найдем отношение второго члена к первому: $q_1 = \frac{20}{-25} = -\frac{4}{5} = -0.8$.

Найдем отношение третьего члена ко второму: $q_2 = \frac{-15}{20} = -\frac{3}{4} = -0.75$.

Поскольку $q_1 \neq q_2$ ($-0.8 \neq -0.75$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.

4) 10, -20, 40, -80

Найдем отношение второго члена к первому: $q_1 = \frac{-20}{10} = -2$.

Найдем отношение третьего члена ко второму: $q_2 = \frac{40}{-20} = -2$.

Найдем отношение четвертого члена к третьему: $q_3 = \frac{-80}{40} = -2$.

Все отношения равны $-2$. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=-2$.

Ответ: 4) 10, -20, 40, -80

2. Найдите первый член геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_2 = 12$, а знаменатель прогрессии равен $-2$.

1) $-24$

2) $24$

3) $10$

4) $-6$

По условию задачи нам дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, в которой известен второй член $b_2 = 12$ и знаменатель прогрессии $q = -2$. Требуется найти первый член прогрессии, $b_1$.

Общая формула для $n$-го члена геометрической прогрессии выглядит так: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Воспользуемся этой формулой для второго члена прогрессии, подставив $n=2$: $b_2 = b_1 \cdot q^{2-1}$ $b_2 = b_1 \cdot q^1$ $b_2 = b_1 \cdot q$

Из этого соотношения мы можем выразить первый член $b_1$: $b_1 = \frac{b_2}{q}$

Теперь подставим в полученную формулу известные нам значения $b_2 = 12$ и $q = -2$: $b_1 = \frac{12}{-2}$

Выполнив деление, получаем: $b_1 = -6$

Следовательно, первый член данной геометрической прогрессии равен -6, что соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: -6

3. Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана условиями $b_1 = -\frac{4}{9}$, $b_{n+1} = -1.5b_n$. Найдите $b_4$.

По условию, нам дана геометрическая прогрессия ($b_n$), которая задана следующими условиями:

Первый член прогрессии: $b_1 = -\frac{4}{9}$.

Рекуррентная формула для нахождения последующих членов: $b_{n+1} = -1,5 \cdot b_n$.

Из определения геометрической прогрессии известно, что каждый последующий член равен предыдущему, умноженному на постоянное число $q$, которое называется знаменателем прогрессии: $b_{n+1} = q \cdot b_n$.

Сравнивая эту общую формулу с данной в условии, мы можем определить знаменатель прогрессии $q$:

$q = -1,5$.

Для удобства дальнейших вычислений, представим знаменатель в виде обыкновенной дроби:

$q = -1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$.

Требуется найти четвертый член прогрессии, $b_4$. Для этого воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим в эту формулу $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$.

Теперь подставим известные значения $b_1 = -\frac{4}{9}$ и $q = -\frac{3}{2}$:

$b_4 = \left(-\frac{4}{9}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^3$.

Сначала возведем знаменатель в куб:

$\left(-\frac{3}{2}\right)^3 = -\frac{3^3}{2^3} = -\frac{27}{8}$.

Теперь выполним умножение:

$b_4 = \left(-\frac{4}{9}\right) \cdot \left(-\frac{27}{8}\right)$.

Произведение двух отрицательных чисел положительно. Сократим дроби:

$b_4 = \frac{4 \cdot 27}{9 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2}$.

Переведем полученную обыкновенную дробь в десятичную:

$b_4 = 1,5$.

Ответ: 1,5

4. Найдите четвёртый член геометрической прогрессии $ -243, 54, -12, \ldots $.

Чтобы найти четвертый член геометрической прогрессии, необходимо сначала определить её знаменатель $q$. Геометрическая прогрессия задана своими первыми тремя членами: $b_1 = -243$, $b_2 = 54$, $b_3 = -12$.

Знаменатель $q$ находится путем деления любого члена прогрессии на предыдущий. Найдем его, разделив второй член на первый:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{54}{-243}$
Для упрощения дроби найдем наибольший общий делитель для 54 и 243. Оба числа делятся на 27.
$54 = 2 \cdot 27$
$243 = 9 \cdot 27$
Следовательно, знаменатель равен:
$q = \frac{2 \cdot 27}{-9 \cdot 27} = -\frac{2}{9}$

Теперь, зная знаменатель, можно найти четвертый член прогрессии $b_4$. Для этого нужно умножить третий член $b_3$ на знаменатель $q$.
$b_4 = b_3 \cdot q$
Подставим известные значения $b_3 = -12$ и $q = -\frac{2}{9}$:
$b_4 = -12 \cdot \left(-\frac{2}{9}\right) = \frac{12 \cdot 2}{9} = \frac{24}{9}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$b_4 = \frac{24 \div 3}{9 \div 3} = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$

5. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 15, а сумма второго и четвёртого её членов равна -30. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, сумма первого и третьего членов равна 15. Запишем это в виде уравнения:

$b_1 + b_3 = 15$

Используя формулу n-го члена, получаем:

$b_1 + b_1 \cdot q^{3-1} = 15$

$b_1 + b_1 q^2 = 15$ (1)

Также, по условию, сумма второго и четвёртого членов равна -30. Запишем второе уравнение:

$b_2 + b_4 = -30$

Используя формулу n-го члена, получаем:

$b_1 \cdot q^{2-1} + b_1 \cdot q^{4-1} = -30$

$b_1 q + b_1 q^3 = -30$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} b_1 + b_1 q^2 = 15 \\ b_1 q + b_1 q^3 = -30 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} b_1(1 + q^2) = 15 \\ b_1 q(1 + q^2) = -30 \end{cases}$

Разделим второе уравнение на первое. Это допустимо, так как правая часть первого уравнения не равна нулю (15 ≠ 0), следовательно, и левая часть не равна нулю.

$\frac{b_1 q(1 + q^2)}{b_1(1 + q^2)} = \frac{-30}{15}$

Сократив одинаковые множители $b_1$ и $(1 + q^2)$, найдем значение знаменателя $q$:

$q = -2$

Теперь подставим найденное значение $q = -2$ в первое уравнение системы, чтобы найти первый член прогрессии $b_1$:

$b_1(1 + (-2)^2) = 15$

$b_1(1 + 4) = 15$

$5b_1 = 15$

$b_1 = \frac{15}{5}$

$b_1 = 3$

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 3, а её знаменатель равен -2.

Ответ: первый член $b_1 = 3$, знаменатель $q = -2$.