Страница 97 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. На координатной прямой отмечено число $a$ (рис. 27). Укажите верное утверждение.

1) $a - 5 > 0$

2) $a - 4 > 0$

3) $4 - a > 0$

4) $5 - a < 0$

Рис. 27

$0$, $1$, $a$

Для решения задачи проанализируем положение числа a на координатной прямой, показанной на рисунке 27. На прямой отмечены целые числа 0, 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Мы видим, что точка a находится между отметками 4 и 5.

Следовательно, для числа a справедливо двойное неравенство: $4 < a < 5$.

Теперь проверим истинность каждого из предложенных утверждений, используя это неравенство.

1) $a - 5 > 0$

Это неравенство равносильно $a > 5$. Поскольку из графика следует, что $a < 5$, данное утверждение является неверным.

2) $a - 4 > 0$

Это неравенство равносильно $a > 4$. Поскольку из графика следует, что $a > 4$, данное утверждение является верным.

3) $4 - a > 0$

Это неравенство равносильно $4 > a$, или $a < 4$. Поскольку из графика следует, что $a > 4$, данное утверждение является неверным.

4) $5 - a < 0$

Это неравенство равносильно $5 < a$, или $a > 5$. Поскольку из графика следует, что $a < 5$, данное утверждение является неверным.

Таким образом, единственное верное утверждение находится под номером 2.

Ответ: 2

2. Какое из приведённых неравенств равносильно неравенству $x^2 \ge 0$?

1) $\sqrt{x} \ge 0$

2) $|x| \ge -3$

3) $x \ge 0$

4) $x^2 \ge 1$

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Сначала определим множество решений для исходного неравенства $x^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом. Следовательно, неравенство $x^2 \ge 0$ выполняется для любого действительного числа $x$. Множество решений этого неравенства — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

Теперь проанализируем каждое из предложенных неравенств, чтобы найти то, у которого множество решений также является $(-\infty, +\infty)$.

1) $\sqrt{x} \ge 0$

Область определения функции квадратного корня — это все неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$. Для всех $x$ из этой области определения, значение $\sqrt{x}$ также является неотрицательным, поэтому неравенство $\sqrt{x} \ge 0$ выполняется для всех $x \ge 0$. Множество решений — $x \in [0, +\infty)$. Это множество не совпадает с множеством всех действительных чисел.

2) $|x| \ge -3$

Модуль любого действительного числа $|x|$ по определению является неотрицательным числом, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x$. Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, в данном случае -3. Следовательно, неравенство $|x| \ge -3$ выполняется для любого действительного числа $x$. Множество решений — $x \in (-\infty, +\infty)$. Это множество совпадает с множеством решений исходного неравенства, значит, эти неравенства равносильны.

3) $x \ge 0$

Множество решений этого неравенства — это все неотрицательные числа, то есть $x \in [0, +\infty)$. Это множество не совпадает с множеством всех действительных чисел.

4) $x^2 \ge 1$

Решением этого неравенства являются числа, модуль которых не меньше 1. Это можно записать как совокупность двух неравенств: $x \ge 1$ или $x \le -1$. Множество решений — $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$. Это множество не совпадает с множеством всех действительных чисел.

Таким образом, единственное неравенство, равносильное исходному неравенству $x^2 \ge 0$, это $|x| \ge -3$.

Ответ: 2

3. Множеством решений какого неравенства является промежуток $(-\infty; 4)$?

1) $x > 4$

2) $x < 4$

3) $x \ge 4$

4) $x \le 4$

Заданный промежуток $(-\infty; 4)$ обозначает множество всех действительных чисел, которые строго меньше 4. Слово "строго" означает, что само число 4 не включается в множество, на что указывает круглая скобка.

Математически это условие записывается как строгое неравенство: $x < 4$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов ответа, чтобы найти соответствующий.

1) Неравенство $x > 4$ означает "x строго больше 4". Множество его решений — это промежуток $(4; +\infty)$. Этот вариант не подходит.

2) Неравенство $x < 4$ означает "x строго меньше 4". Множество его решений — это промежуток $(-\infty; 4)$. Этот вариант полностью соответствует условию задачи.

3) Неравенство $x \ge 4$ означает "x больше или равен 4". Множество его решений — это промежуток $[4; +\infty)$. Этот вариант не подходит.

4) Неравенство $x \le 4$ означает "x меньше или равен 4". Множество его решений — это промежуток $(-\infty; 4]$. Этот вариант не подходит, так как он включает число 4.

Таким образом, правильным является неравенство $x < 4$.

Ответ: 2

4. Какая из данных систем неравенств не имеет решений?

1) $\begin{cases} x \ge -6, \\ x \le -3 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x > -6, \\ x > -3 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x < -6, \\ x > -3 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x \le -6, \\ x < -3 \end{cases}$

Чтобы определить, какая из систем неравенств не имеет решений, необходимо для каждой системы найти пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Если пересечение окажется пустым множеством, то система не имеет решений.

1) $\begin{cases} x \ge -6 \\ x \le -3 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x \ge -6$ является промежуток $[-6, +\infty)$. Решением второго неравенства $x \le -3$ является промежуток $(-\infty, -3]$. Пересечением этих промежутков является отрезок $[-6, -3]$. Поскольку множество решений непустое (например, $x = -4$ является решением), данная система имеет решения.

Ответ: система имеет решения.

2) $\begin{cases} x > -6 \\ x > -3 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x > -6$ является промежуток $(-6, +\infty)$. Решением второго неравенства $x > -3$ является промежуток $(-3, +\infty)$. Пересечением этих двух промежутков является промежуток $(-3, +\infty)$, так как если число больше $-3$, оно автоматически больше и $-6$. Множество решений непустое, значит, система имеет решения.

Ответ: система имеет решения.

3) $\begin{cases} x < -6 \\ x > -3 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x < -6$ является промежуток $(-\infty, -6)$. Решением второго неравенства $x > -3$ является промежуток $(-3, +\infty)$. Необходимо найти такие числа $x$, которые одновременно меньше $-6$ и больше $-3$. На числовой оси эти два промежутка не пересекаются, так как $-6 < -3$. Следовательно, пересечение этих множеств пусто. Это означает, что данная система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

4) $\begin{cases} x \le -6 \\ x < -3 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x \le -6$ является промежуток $(-\infty, -6]$. Решением второго неравенства $x < -3$ является промежуток $(-\infty, -3)$. Пересечением этих двух промежутков является промежуток $(-\infty, -6]$, так как если число меньше или равно $-6$, оно автоматически меньше $-3$. Множество решений непустое, значит, система имеет решения.

Ответ: система имеет решения.

Таким образом, единственная система неравенств, которая не имеет решений, — это система под номером 3.

5. Укажите рисунок, на котором изображено множество решений системы неравенств $ \begin{cases} -16 + 4x > 0, \\ 7 - 5x > -18. \end{cases} $

1) $x > 4$

2) $4 < x < 5$

3) $x > 5$

4) $x < 5$

Чтобы найти множество решений системы, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решение первого неравенства:
$-16 + 4x > 0$
Перенесем $-16$ в правую часть с противоположным знаком:
$4x > 16$
Разделим обе части на 4:
$x > \frac{16}{4}$
$x > 4$
Таким образом, решением первого неравенства является интервал $(4; +\infty)$.

Решение второго неравенства:
$7 - 5x > -18$
Перенесем 7 в правую часть с противоположным знаком:
$-5x > -18 - 7$
$-5x > -25$
Разделим обе части на $-5$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $">"$ на $"<"$):
$x < \frac{-25}{-5}$
$x < 5$
Решением второго неравенства является интервал $(-\infty; 5)$.

Нахождение решения системы и выбор рисунка:
Решением системы является пересечение полученных множеств, то есть все значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x > 4$ и $x < 5$.
Это можно записать в виде двойного неравенства $4 < x < 5$ или в виде интервала $(4; 5)$.
Этот интервал изображен на рисунке 2. Он представляет собой заштрихованную область между числами 4 и 5. Так как неравенства строгие, точки 4 и 5 не входят в решение, поэтому они отмечены выколотыми (пустыми) кружками.

Ответ: 2