Страница 102 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и множествами их решений, записанными в правом столбце.

Неравенства

А) $4(3 - 6x) + 11x > 38$

Б) $0,6(5x - 2) > 2(1,5x - 1,6)$

В) $\frac{x}{4} - \frac{x}{3} < \frac{1}{6}$

Множества решений

1) $(-2; +\infty)$

2) $(-\infty; -2)$

3) $(-\infty; +\infty)$

4) $(-\infty; 2)$

5) $\emptyset$

А)

Решим неравенство $4(3 - 6x) + 11x > 38$.

1. Раскроем скобки в левой части неравенства, умножив 4 на каждый член в скобках:
$4 \cdot 3 - 4 \cdot 6x + 11x > 38$
$12 - 24x + 11x > 38$

2. Приведем подобные слагаемые (члены с переменной $x$):
$12 + (-24x + 11x) > 38$
$12 - 13x > 38$

3. Перенесем число 12 из левой части в правую с противоположным знаком:
$-13x > 38 - 12$
$-13x > 26$

4. Разделим обе части неравенства на -13. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{26}{-13}$
$x < -2$

Множество решений этого неравенства представляет собой числовой промежуток $(-\infty; -2)$. В списке множеств решений это соответствует варианту под номером 2.

Ответ: 2

Б)

Решим неравенство $0,6(5x - 2) > 2(1,5x - 1,6)$.

1. Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$0,6 \cdot 5x - 0,6 \cdot 2 > 2 \cdot 1,5x - 2 \cdot 1,6$
$3x - 1,2 > 3x - 3,2$

2. Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а числовые члены — в правую:
$3x - 3x > -3,2 + 1,2$
$0 \cdot x > -2$

3. Упростим выражение:
$0 > -2$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.

Множество решений — вся числовая прямая, что в виде интервала записывается как $(-\infty; +\infty)$. В списке множеств решений это соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3

В)

Решим неравенство $\frac{x}{4} - \frac{x}{3} < \frac{1}{6}$.

1. Чтобы избавиться от дробей, найдем наименьший общий знаменатель для чисел 4, 3 и 6. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12.

2. Умножим обе части неравенства на 12:
$12 \cdot (\frac{x}{4} - \frac{x}{3}) < 12 \cdot \frac{1}{6}$
$\frac{12x}{4} - \frac{12x}{3} < \frac{12}{6}$
$3x - 4x < 2$

3. Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-x < 2$

4. Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$x > -2$

Множество решений этого неравенства представляет собой числовой промежуток $(-2; +\infty)$. В списке множеств решений это соответствует варианту под номером 1.

Ответ: 1

7. Оцените периметр $P$ прямоугольника со сторонами $x$ см и $y$ см, если $2,5 < x < 3,5$ и $2 < y < 6$.

Периметр прямоугольника $P$ со сторонами $x$ и $y$ вычисляется по формуле $P = 2(x + y)$.

По условию задачи даны диапазоны для сторон прямоугольника:

$2,5 < x < 3,5$

$2 < y < 6$

Чтобы оценить периметр, сначала необходимо оценить сумму сторон $(x + y)$. Для этого сложим почленно левые и правые части данных неравенств, так как они одного знака (<):

$2,5 + 2 < x + y < 3,5 + 6$

Выполнив сложение, получаем:

$4,5 < x + y < 9,5$

Теперь, зная диапазон для суммы сторон, мы можем найти диапазон для периметра. Умножим все части полученного двойного неравенства на 2, так как $P = 2(x + y)$:

$2 \cdot 4,5 < 2(x + y) < 2 \cdot 9,5$

Выполнив умножение, получаем итоговую оценку для периметра $P$:

$9 < P < 19$

Ответ: $9 < P < 19$.

8. Найдите наибольшее целое решение неравенства $4(x-1) - (9x-5) \ge 3.$

Для того чтобы найти наибольшее целое решение неравенства, необходимо сначала решить само неравенство.

Исходное неравенство:

$4(x - 1) - (9x - 5) \ge 3$

1. Раскроем скобки. Обращаем внимание, что перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки внутри нее меняются на противоположные.

$4x - 4 - 9x + 5 \ge 3$

2. Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства (отдельно слагаемые с переменной $x$ и свободные члены).

$(4x - 9x) + (-4 + 5) \ge 3$

$-5x + 1 \ge 3$

3. Перенесем свободный член (1) из левой части в правую, изменив его знак.

$-5x \ge 3 - 1$

$-5x \ge 2$

4. Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на -5. Важно помнить, что при делении или умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (в данном случае $\ge$ на $\le$).

$x \le \frac{2}{-5}$

$x \le -0.4$

5. Мы получили, что решением неравенства являются все числа, которые меньше или равны -0.4. Теперь нам нужно найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию.

Целые числа, которые меньше или равны -0.4, это ..., -4, -3, -2, -1. Наибольшим в этом ряду является -1.

Ответ: -1

9. Чему равна сумма целых отрицательных чисел, принадлежащих области определения выражения $\sqrt{6x + 25}$?

Для нахождения суммы целых отрицательных чисел, принадлежащих области определения выражения $\sqrt{6x + 25}$, сначала необходимо найти саму область определения.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным (больше или равно нулю). Следовательно, мы должны решить неравенство:

$6x + 25 \ge 0$

Перенесем 25 в правую часть неравенства, изменив знак:

$6x \ge -25$

Разделим обе части неравенства на 6:

$x \ge -\frac{25}{6}$

Чтобы было удобнее определить целые числа, представим дробь в виде смешанного числа:

$x \ge -4\frac{1}{6}$

Таким образом, область определения выражения — это все числа в промежутке $[-4\frac{1}{6}; +\infty)$.

Теперь найдем все целые отрицательные числа, которые входят в этот промежуток. Это числа, которые больше или равны $-4\frac{1}{6}$ и меньше 0. Такими числами являются:

-4, -3, -2, -1.

Наконец, вычислим сумму этих чисел:

$(-4) + (-3) + (-2) + (-1) = -7 - 2 - 1 = -10$

Ответ: -10

10. Найдите наименьшее целое решение системы неравенств

$\begin{cases} 4x - 6 < 5x + 2\text{,} \\ 2x + 5 \ge 1,5x + 2\text{.} \end{cases}$

Для того чтобы найти решение системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство: $4x - 6 < 5x + 2$.

Перенесем члены с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$4x - 5x < 2 + 6$

$-x < 8$

Умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -8$

Решением первого неравенства является промежуток $(-8; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $2x + 5 \ge 1,5x + 2$.

Перенесем члены с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$2x - 1,5x \ge 2 - 5$

$0,5x \ge -3$

Разделим обе части неравенства на $0,5$. Так как $0,5$ — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x \ge \frac{-3}{0,5}$

$x \ge -6$

Решением второго неравенства является промежуток $[-6; +\infty)$.

3. Найдем общее решение системы, которое является пересечением решений обоих неравенств: $x > -8$ и $x \ge -6$.

Пересечением этих двух промежутков является промежуток $[-6; +\infty)$.

По условию задачи требуется найти наименьшее целое решение. Наименьшим целым числом, которое удовлетворяет условию $x \ge -6$, является число $-6$.

Ответ: -6

11. Сколько целых решений имеет неравенство

$0,3 \le \frac{3-4x}{6} \le 2,5?$

Для решения двойного неравенства $0,3 \le \frac{3 - 4x}{6} \le 2,5$ необходимо найти все значения $x$, удовлетворяющие ему, а затем посчитать количество целых чисел в полученном промежутке.

1. Умножим все части неравенства на 6, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 6 является положительным числом, знаки неравенства сохраняются:
$6 \cdot 0,3 \le 6 \cdot \frac{3 - 4x}{6} \le 6 \cdot 2,5$
$1,8 \le 3 - 4x \le 15$

2. Вычтем 3 из всех частей неравенства, чтобы выделить слагаемое, содержащее $x$:
$1,8 - 3 \le 3 - 4x - 3 \le 15 - 3$
$-1,2 \le -4x \le 12$

3. Разделим все части неравенства на -4. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-1,2}{-4} \ge \frac{-4x}{-4} \ge \frac{12}{-4}$
$0,3 \ge x \ge -3$

4. Запишем полученное неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):
$-3 \le x \le 0,3$

5. Теперь определим, какие целые числа принадлежат промежутку $[-3; 0,3]$. Это числа: -3, -2, -1, 0.
Всего таких чисел 4.

Ответ: 4

12. Найдите множество решений неравенства $ax + 3 < 0$, если $a < 0$.

Для решения неравенства $ax + 3 < 0$ необходимо выразить переменную $x$.

Сначала перенесем свободный член (3) в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:

$ax < -3$

Далее, чтобы найти $x$, нужно разделить обе части неравенства на коэффициент $a$. По условию задачи, $a < 0$, то есть $a$ — отрицательное число. При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с «<» на «>»).

$\frac{ax}{a} > \frac{-3}{a}$

$x > -\frac{3}{a}$

Таким образом, множество решений неравенства — это все числа, которые больше, чем $-\frac{3}{a}$. В виде интервала это записывается как $(-\frac{3}{a}; +\infty)$.

Ответ: $(-\frac{3}{a}; +\infty)$