Страница 109 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Областью определения какой из данных функций является промежуток $(8; +\infty)$?

1) $y = \sqrt{x+8}$

2) $y = \frac{1}{\sqrt{x+8}}$

3) $y = \sqrt{x-8}$

4) $y = \frac{1}{\sqrt{x-8}}$

Чтобы найти область определения функции, необходимо найти все значения переменной $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Проанализируем каждую из предложенных функций.

1) $y = \sqrt{x+8}$
Область определения этой функции задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).
$x + 8 \geq 0$
$x \geq -8$
Следовательно, область определения — это промежуток $[-8; +\infty)$. Этот промежуток не соответствует заданному в условии.
Ответ: $[-8; +\infty)$.

2) $y = \frac{1}{\sqrt{x+8}}$
В этом случае подкоренное выражение находится в знаменателе. Знаменатель не может быть равен нулю, а подкоренное выражение не может быть отрицательным. Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго положительным (больше нуля).
$x + 8 > 0$
$x > -8$
Область определения — это промежуток $(-8; +\infty)$. Этот промежуток не соответствует заданному в условии.
Ответ: $(-8; +\infty)$.

3) $y = \sqrt{x-8}$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$x - 8 \geq 0$
$x \geq 8$
Область определения — это промежуток $[8; +\infty)$. Этот промежуток включает число 8, в то время как в заданном промежутке $(8; +\infty)$ число 8 не включено (строгое неравенство).
Ответ: $[8; +\infty)$.

4) $y = \frac{1}{\sqrt{x-8}}$
Подкоренное выражение находится в знаменателе, поэтому оно должно быть строго положительным.
$x - 8 > 0$
$x > 8$
Область определения — это промежуток $(8; +\infty)$. Этот промежуток полностью совпадает с указанным в условии задачи.
Ответ: $(8; +\infty)$.

Таким образом, функцией, область определения которой является промежуток $(8; +\infty)$, является функция под номером 4.

2. Как надо параллельно перенести график функции $y = \frac{12}{x}$, чтобы получить график функции $y = \frac{12}{x+2}$?

1) на 2 единицы вверх

2) на 2 единицы вниз

3) на 2 единицы влево

4) на 2 единицы вправо

Чтобы определить, как нужно параллельно перенести график одной функции для получения другой, необходимо проанализировать вид преобразования.

Общее правило для параллельного переноса графика функции $f(x)$ вдоль оси $Ox$ (горизонтальный сдвиг) выглядит следующим образом: График функции $y = f(x+a)$ получается из графика функции $y = f(x)$ сдвигом на $|a|$ единиц.

• Если $a > 0$, сдвиг происходит влево.
• Если $a < 0$, сдвиг происходит вправо.

Исходная функция в задаче: $y = \frac{12}{x}$. Обозначим её как $f(x)$.

Требуется получить график функции $y = \frac{12}{x+2}$.

Сравнивая две функции, мы видим, что в новой функции аргумент $x$ заменен на выражение $(x+2)$. Это означает, что новая функция имеет вид $f(x+2)$.

В данном случае $a=2$. Поскольку $a > 0$, для получения графика функции $y = \frac{12}{x+2}$ необходимо сдвинуть график исходной функции $y = \frac{12}{x}$ на 2 единицы влево.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: на 2 единицы влево.

3. График функции $y = \sqrt{x}$ параллельно перенесли на 6 единиц влево и на 7 единиц вниз. График какой функции получили?

1) $y = \sqrt{x - 6} + 7$

2) $y = \sqrt{x + 7} - 6$

3) $y = \sqrt{x + 6} - 7$

4) $y = \sqrt{x - 7} + 6$

Чтобы найти уравнение функции, полученной в результате параллельного переноса, необходимо последовательно применить правила преобразования графиков к исходной функции $y = \sqrt{x}$.

1. Перенос на 6 единиц влево.
Параллельный перенос графика функции $y=f(x)$ на $a$ единиц влево вдоль оси абсцисс (Ox) приводит к функции $y = f(x+a)$.
В данном случае $a=6$. Применяя это правило к функции $y = \sqrt{x}$, мы заменяем $x$ на $(x+6)$:
$y = \sqrt{x+6}$.

2. Перенос на 7 единиц вниз.
Параллельный перенос графика функции $y=g(x)$ на $b$ единиц вниз вдоль оси ординат (Oy) приводит к функции $y = g(x) - b$.
В данном случае $b=7$. Применяя это правило к функции $y = \sqrt{x+6}$, полученной на предыдущем шаге, мы вычитаем 7 из всей функции:
$y = \sqrt{x+6} - 7$.

Таким образом, итоговое уравнение функции имеет вид $y = \sqrt{x+6} - 7$. Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что это соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3) $y = \sqrt{x+6} - 7$

4. На каком из рисунков изображён график функции $y = (x - 3)^2$?

1) 2) 3) 4)

Данная функция $y = (x - 3)^2$ является квадратичной, ее график — парабола. Эта парабола получена из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем преобразований.

Общий вид уравнения параболы с вершиной в точке $(h, k)$ и ветвями, направленными вверх или вниз, следующий: $y = a(x - h)^2 + k$.

В нашем случае уравнение $y = (x - 3)^2$ можно записать как $y = 1 \cdot (x - 3)^2 + 0$.

Отсюда мы можем определить параметры параболы:

• Коэффициент $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Координаты вершины $(h, k)$ равны $(3, 0)$.

Таким образом, нам нужно найти график параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке с координатами $(3, 0)$.

Проанализируем предложенные рисунки:

1. На рисунке 1 изображена парабола с вершиной в точке $(-3, 0)$.
2. На рисунке 2 изображена парабола с вершиной в точке $(0, -3)$.
3. На рисунке 3 изображена парабола с вершиной в точке $(3, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Это соответствует нашим выводам.
4. На рисунке 4 изображена парабола с вершиной в точке $(0, 3)$.

Следовательно, график функции $y = (x - 3)^2$ изображен на рисунке под номером 3.

Ответ: 3