Страница 110 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Вершина какой из данных парабол принадлежит оси ординат?

1) $y = (x - 4)^2$

2) $y = x^2 - 4x$

3) $y = x^2 - 4$

4) $y = 4x - x^2$

Вершина параболы принадлежит оси ординат (оси $y$), если ее абсцисса (координата $x$) равна нулю. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ параболы, заданной уравнением в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$, находятся по формуле для абсциссы: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Таким образом, условие того, что вершина параболы лежит на оси ординат, — это $x_0 = 0$.
Это равенство, $x_0 = -\frac{b}{2a} = 0$, выполняется тогда и только тогда, когда $b = 0$ (поскольку для параболы коэффициент $a \neq 0$).
Проверим каждую из предложенных парабол на наличие члена с $x$ в первой степени (то есть, на равенство коэффициента $b$ нулю).

1) $y = (x - 4)^2$

Приведем уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$, раскрыв скобки:
$y = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$.
В этом уравнении коэффициенты $a=1$, $b=-8$, $c=16$.
Так как $b = -8 \neq 0$, вершина этой параболы не принадлежит оси ординат.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$.

2) $y = x^2 - 4x$

Уравнение уже представлено в стандартном виде.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=0$.
Так как $b = -4 \neq 0$, вершина этой параболы не принадлежит оси ординат.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

3) $y = x^2 - 4$

Уравнение представлено в стандартном виде. Его можно записать как $y = 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x - 4$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=0$, $c=-4$.
Так как $b = 0$, вершина этой параболы принадлежит оси ординат.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.

4) $y = 4x - x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$:
$y = -x^2 + 4x$.
Коэффициенты: $a=-1$, $b=4$, $c=0$.
Так как $b = 4 \neq 0$, вершина этой параболы не принадлежит оси ординат.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.

Таким образом, единственная парабола, вершина которой принадлежит оси ординат, — это парабола, заданная уравнением $y = x^2 - 4$.

Ответ: 3

6. Установите соответствие между графиками функций и формулами, задающими эти функции.

Формулы

1) $y = x^2 - 4x + 5$

2) $y = -x^2 - 4x$

3) $y = x^2 + 4x - 5$

4) $y = -x^2 + 4x - 5$

5) $y = -x^2 - 4x + 5$

Графики

А) Б) В)

Чтобы установить соответствие между графиками и формулами, проанализируем каждый график и каждую формулу по ключевым параметрам квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$: направлению ветвей параболы (знак коэффициента $a$), координатам вершины $(x_0, y_0)$, где $x_0 = -b/(2a)$, и точке пересечения с осью Y $(0, c)$.

На графике А ветви параболы направлены вниз, следовательно, коэффициент $a < 0$. Этому условию соответствуют формулы 2, 4 и 5. Абсцисса вершины параболы на графике А положительна: $x_0 = 2$.

Проверим абсциссы вершин для этих формул. Для формулы 2) $y = -x^2 - 4x$, $x_0 = -(-4) / (2 \cdot (-1)) = -2$. Не подходит. Для формулы 4) $y = -x^2 + 4x - 5$, $x_0 = -4 / (2 \cdot (-1)) = 2$. Подходит. Для формулы 5) $y = -x^2 - 4x + 5$, $x_0 = -(-4) / (2 \cdot (-1)) = -2$. Не подходит.

Таким образом, графику А может соответствовать только формула 4. Для проверки найдем ординату вершины: $y_0 = -(2)^2 + 4(2) - 5 = -4 + 8 - 5 = -1$. Вершина $(2, -1)$ совпадает с графиком. Точка пересечения с осью Y, $c=-5$, также соответствует графику.

Ответ: 4

На графике Б ветви параболы направлены вверх, значит $a > 0$. Этому условию соответствуют формулы 1 и 3. Абсцисса вершины параболы на графике Б положительна: $x_0 = 2$.

Проверим абсциссы вершин для этих двух формул. Для формулы 1) $y = x^2 - 4x + 5$, $x_0 = -(-4) / (2 \cdot 1) = 2$. Подходит. Для формулы 3) $y = x^2 + 4x - 5$, $x_0 = -4 / (2 \cdot 1) = -2$. Не подходит.

Следовательно, графику Б соответствует формула 1. Проверим ординату вершины: $y_0 = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$. Вершина $(2, 1)$ совпадает с графиком. Точка пересечения с осью Y, $c=5$, также соответствует графику.

Ответ: 1

На графике В ветви параболы направлены вниз, значит $a < 0$. Подходят формулы 2, 4 и 5. Абсцисса вершины параболы на графике В отрицательна: $x_0 = -2$.

Ранее мы уже посчитали, что абсцисса $x_0 = -2$ у формул 2 и 5. Чтобы выбрать между ними, посмотрим на точку пересечения с осью Y. На графике В парабола пересекает ось Y в точке $(0, 5)$, следовательно, свободный член $c=5$.

В формуле 2) $y = -x^2 - 4x$, $c=0$, что не подходит. В формуле 5) $y = -x^2 - 4x + 5$, $c=5$, что подходит. Значит, графику В соответствует формула 5. Проверим ординату вершины: $y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$. Вершина $(-2, 9)$ совпадает с графиком.

Ответ: 5