Страница 115 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

10. На рисунке 38 изображён график функции $y = x^2 + 6x + 6$. Используя данный график, найдите область значений функции.

Рис. 38

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает переменная y. Чтобы найти область значений по графику, нужно спроецировать все точки графика на ось ординат (ось Oy).

На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх. Это значит, что функция имеет наименьшее значение, но не ограничена сверху.

Наименьшее значение функция принимает в своей вершине. Из графика видно, что самая нижняя точка параболы имеет координаты $(-3; -3)$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно -3. Все остальные точки графика лежат выше этой точки, то есть их ординаты (значения y) больше -3.

Таким образом, область значений функции — это все числа от -3 включительно и до плюс бесконечности.

Это можно записать в виде промежутка: $[-3; +\infty)$.

Также можно проверить это аналитически. Координата $y$ вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $y_0 = y(x_0)$, где $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для функции $y = x^2 + 6x + 6$ имеем $a=1, b=6$.

Находим $x_0$: $x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.

Находим $y_0$: $y_0 = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 6 = 9 - 18 + 6 = -3$.

Так как коэффициент $a=1>0$, ветви параболы направлены вверх, и $y_0=-3$ является наименьшим значением функции. Область значений функции: $[-3; +\infty)$.

Ответ: $[-3; +\infty)$

11. На рисунке 39 изображён график функции $y = ax^2$. Найдите значение $a$.

Рис. 39

График функции $y = ax^2$ представляет собой параболу с вершиной в начале координат. Чтобы найти значение коэффициента $a$, необходимо выбрать на графике точку с точно известными координатами, отличную от вершины, и подставить её координаты в уравнение функции.

Из рисунка видно, что парабола проходит через точку с координатами $(2, 1)$. Подставим эти значения ($x=2$ и $y=1$) в уравнение $y = ax^2$:
$1 = a \cdot (2)^2$
$1 = a \cdot 4$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:
$a = \frac{1}{4}$

Таким образом, искомое значение коэффициента равно $\frac{1}{4}$ или $0.25$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

12. Чему равно наименьшее значение функции $y = -4x^2 - 16x - 3$ на промежутке $[0; 1]$?

Данная функция $y = -4x^2 - 16x - 3$ является квадратичной, ее график — парабола.

Коэффициент при $x^2$ равен -4, он отрицательный ($a = -4 < 0$), следовательно, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что в вершине параболы функция достигает своего наибольшего значения.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-16}{2 \cdot (-4)} = -\frac{-16}{-8} = -2$

Вершина параболы находится в точке $x_0 = -2$.

Нам необходимо найти наименьшее значение функции на промежутке $[0; 1]$. Так как вершина параболы $x_0 = -2$ не принадлежит этому промежутку, а находится левее него, то на всем промежутке $[0; 1]$ функция является монотонно убывающей.

Для убывающей функции на отрезке наименьшее значение достигается на его правом конце. В нашем случае это точка $x = 1$.

Найдем значение функции в этой точке:

$y(1) = -4(1)^2 - 16(1) - 3 = -4 - 16 - 3 = -23$

Чтобы убедиться, можно также найти значение на левом конце промежутка, в точке $x = 0$:

$y(0) = -4(0)^2 - 16(0) - 3 = -3$

Сравнивая значения $y(1) = -23$ и $y(0) = -3$, видим, что наименьшее значение действительно равно -23.

Ответ: -23