Страница 118 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

10. На рисунке 41 изображён график функции $y = -x^2 - 2x + 4$. Используя данный график, найдите область значений функции.

Рис. 41

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает переменная y. Чтобы найти область значений по графику, необходимо определить, какой промежуток на оси ординат (оси y) занимают все точки графика.

На рисунке 41 изображён график квадратичной функции — парабола. Ветви этой параболы направлены вниз, следовательно, функция имеет наибольшее значение, но не имеет наименьшего. Наибольшее значение функции достигается в её вершине.

Найдём по графику координаты вершины параболы. Вершина — это самая высокая точка графика. Из рисунка видно, что её координаты равны $(-1; 5)$.

Таким образом, наибольшее значение функции равно 5. Все остальные точки графика лежат ниже этой точки, то есть их ординаты меньше 5. Следовательно, область значений функции — это все числа от минус бесконечности до 5, включая 5.

В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty; 5]$.

Ответ: $(-\infty; 5]$.

11. На рисунке 42 изображён график функции $y = ax^2$. Найдите значение $a$.

Рис. 42

Чтобы найти значение коэффициента $a$ в уравнении функции $y = ax^2$, необходимо выбрать на графике точку, через которую проходит парабола (кроме начала координат), и подставить её координаты $(x, y)$ в уравнение.

Из рисунка 42 видно, что график функции проходит через точку с координатами $(1, -1)$.

Подставим значения $x = 1$ и $y = -1$ в уравнение функции $y = ax^2$:

$-1 = a \cdot (1)^2$

$-1 = a \cdot 1$

$a = -1$

Для проверки можно взять другую точку, через которую проходит график, например, точку с координатами $(2, -4)$.

Подставим значения $x = 2$ и $y = -4$ в уравнение:

$-4 = a \cdot (2)^2$

$-4 = a \cdot 4$

$a = \frac{-4}{4} = -1$

Оба вычисления дают один и тот же результат. Таким образом, значение коэффициента $a$ равно -1. Ответ: -1.

12. Чему равно наибольшее значение функции $y = -2x^2 - 4x + 5$ на промежутке $[1; 2]$?

Чтобы найти наибольшее значение функции $y = -2x^2 - 4x + 5$ на промежутке $[1; 2]$, нужно исследовать ее поведение на этом отрезке.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -2 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что своего глобального максимума функция достигает в вершине.

Найдем координату $x$ вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{-4}{-4} = -1$.

Вершина параболы находится в точке $x = -1$. Эта точка не принадлежит заданному промежутку $[1; 2]$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1]$ и убывает на промежутке $[-1; +\infty)$. Так как наш отрезок $[1; 2]$ целиком лежит в области убывания функции, наибольшее значение на этом отрезке будет достигаться в его начальной точке, то есть при $x = 1$.

Вычислим значение функции в точке $x = 1$:$y(1) = -2(1)^2 - 4(1) + 5 = -2 - 4 + 5 = -1$.

Для сравнения, вычислим значение функции на другом конце отрезка, в точке $x = 2$:$y(2) = -2(2)^2 - 4(2) + 5 = -2 \cdot 4 - 8 + 5 = -8 - 8 + 5 = -11$.

Сравнивая значения $y(1) = -1$ и $y(2) = -11$, убеждаемся, что наибольшее значение равно $-1$.

Ответ: -1