Страница 123 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите неравенство, множество решений которого изображено на рисунке 45.

1) $x^2 - 16 \ge 0$

2) $x^2 - 16 \le 0$

3) $x^2 - 4x \ge 0$

4) $x^2 - 4x \le 0$

Рис. 45

На рисунке 45 изображено множество решений, которое представляет собой объединение двух числовых промежутков: от минус бесконечности до 0 включительно и от 4 включительно до плюс бесконечности. В виде неравенств это можно записать как $x \le 0$ или $x \ge 4$. Чтобы найти соответствующее неравенство, решим каждое из предложенных.

1) $x^2 - 16 \ge 0$

Рассмотрим соответствующее уравнение $x^2 - 16 = 0$.
Разложим на множители: $(x - 4)(x + 4) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = -4$, $x_2 = 4$.
Это квадратное неравенство, графиком функции $y = x^2 - 16$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется на промежутках, где график параболы находится выше или на оси абсцисс, то есть вне интервала между корнями.
Решением является объединение промежутков $(-\infty; -4] \cup [4; \infty)$. Это множество не совпадает с изображенным на рисунке.
Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [4; \infty)$.

2) $x^2 - 16 \le 0$

Корни уравнения $x^2 - 16 = 0$ те же: $x_1 = -4$, $x_2 = 4$.
Ветви параболы $y = x^2 - 16$ направлены вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Решением является промежуток $[-4; 4]$. Это множество не совпадает с изображенным на рисунке.
Ответ: $x \in [-4; 4]$.

3) $x^2 - 4x \ge 0$

Рассмотрим соответствующее уравнение $x^2 - 4x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 4) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 4x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется на промежутках вне интервала между корнями.
Решением является объединение промежутков $(-\infty; 0] \cup [4; \infty)$. Это множество в точности совпадает с изображенным на рисунке 45.
Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [4; \infty)$.

4) $x^2 - 4x \le 0$

Корни уравнения $x^2 - 4x = 0$ те же: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.
Ветви параболы $y = x^2 - 4x$ направлены вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями.
Решением является промежуток $[0; 4]$. Это множество не совпадает с изображенным на рисунке.
Ответ: $x \in [0; 4]$.

Таким образом, множество решений, изображенное на рисунке, соответствует неравенству $x^2 - 4x \ge 0$.

Ответ: 3

2. Укажите неравенство, не имеющее решений.

1) $x^2 + 5x - 8 > 0$

2) $x^2 - 5x + 8 < 0$

3) $x^2 - 5x - 8 < 0$

4) $x^2 - 5x + 8 > 0$

Для того чтобы определить, какое из неравенств не имеет решений, необходимо проанализировать каждое из них. Решение квадратного неравенства вида $ax^2 + bx + c \lessgtr 0$ зависит от знака старшего коэффициента $a$ и знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ соответствующего квадратного уравнения.

Во всех предложенных неравенствах старший коэффициент $a=1$, что больше нуля ($a>0$). Это означает, что графиком квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

1) $x^2 + 5x - 8 > 0$

Найдем дискриминант для квадратного трехчлена $x^2 + 5x - 8$:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 25 + 32 = 57$.

Поскольку $D > 0$, соответствующее квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это значит, что парабола $y = x^2 + 5x - 8$ пересекает ось Ox в двух точках. Так как ветви параболы направлены вверх, значения функции будут положительными на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня. Следовательно, данное неравенство имеет решения.

2) $x^2 - 5x + 8 < 0$

Найдем дискриминант для квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 8$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7$.

Поскольку $D < 0$, соответствующее квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что парабола $y = x^2 - 5x + 8$ не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола расположена выше оси Ox, и, следовательно, значения функции $y = x^2 - 5x + 8$ всегда положительны при любом значении $x$. Неравенство $x^2 - 5x + 8 < 0$ требует, чтобы всегда положительное выражение было меньше нуля, что невозможно. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

3) $x^2 - 5x - 8 < 0$

Найдем дискриминант для квадратного трехчлена $x^2 - 5x - 8$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 25 + 32 = 57$.

Поскольку $D > 0$, соответствующее квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Парабола $y = x^2 - 5x - 8$ пересекает ось Ox в двух точках. Так как ветви параболы направлены вверх, значения функции будут отрицательными на промежутке между корнями. Следовательно, данное неравенство имеет решения.

4) $x^2 - 5x + 8 > 0$

Для этого неравенства используется тот же квадратный трехчлен, что и в пункте 2. Мы уже выяснили, что его дискриминант $D = -7 < 0$.

Поскольку $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, выражение $x^2 - 5x + 8$ всегда положительно для любого действительного значения $x$. Неравенство $x^2 - 5x + 8 > 0$ выполняется при всех $x$. Следовательно, данное неравенство имеет решения (решением является множество всех действительных чисел).

Проанализировав все варианты, мы установили, что единственное неравенство, которое не имеет решений, это $x^2 - 5x + 8 < 0$.

Ответ: 2.

3. При каком значении a неравенство $x^2 - 8x + a \le 0$ имеет единственное решение?

1) $a = 4$ 2) $a = -4$ 3) $a = 16$ 4) $a = -16$

Рассмотрим неравенство $x^2 - 8x + a \le 0$. Левая часть этого неравенства представляет собой квадратичную функцию $y = x^2 - 8x + a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число).

Неравенство будет иметь единственное решение только в том случае, когда парабола касается оси абсцисс (оси Ox) в одной точке, то есть в своей вершине. В этой точке значение функции будет равно нулю ($y=0$), а во всех остальных точках — строго больше нуля ($y>0$).

Условием касания параболы оси Ox является равенство нулю дискриминанта ($D$) соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x + a = 0$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. В данном уравнении коэффициенты равны: $a=1$ (коэффициент при $x^2$), $b=-8$, $c=a$ (свободный член).

Подставим значения в формулу: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 64 - 4a$

Приравняем дискриминант к нулю и решим уравнение относительно $a$: $64 - 4a = 0$

$4a = 64$

$a = \frac{64}{4}$

$a = 16$

Проверим: при $a=16$ неравенство принимает вид $x^2 - 8x + 16 \le 0$. Левую часть можно свернуть по формуле квадрата разности: $(x - 4)^2 \le 0$. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, данное неравенство выполняется только в случае равенства: $(x - 4)^2 = 0$, откуда $x = 4$. Таким образом, при $a=16$ неравенство имеет единственное решение. Это значение соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 16

4. Какие фигуры являются графиками уравнений системы $$ \begin{cases} x^2 - y = 4, \\ xy = 4? \end{cases} $$

1) окружность и гипербола

2) парабола и гипербола

3) парабола и прямая

4) окружность и прямая

Для того чтобы определить, какие фигуры являются графиками уравнений системы, необходимо рассмотреть каждое уравнение по отдельности.

Анализ первого уравнения: $x^2 - y = 4$

Чтобы определить тип кривой, выразим переменную y через x:

$y = x^2 - 4$

Это уравнение является уравнением квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=0$, и $c=-4$. Графиком квадратичной функции всегда является парабола.

Анализ второго уравнения: $xy = 4$

Теперь выразим переменную y через x из второго уравнения (при условии, что $x \neq 0$):

$y = \frac{4}{x}$

Это уравнение является уравнением обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$, где $k=4$. Графиком функции обратной пропорциональности всегда является гипербола.

Таким образом, графиками уравнений данной системы являются парабола и гипербола. Этот вариант соответствует пункту 2 в предложенных ответах.

Ответ: 2) парабола и гипербола

5. Сколько решений имеет система уравнений $ \begin{cases} x^2 - y = -3, \\ 2x + y = 2 \end{cases} ?$

1) решений нет

2) одно решение

3) два решения

4) четыре решения

Чтобы определить, сколько решений имеет система уравнений, решим ее.

Данная система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - y = -3 \\ 2x + y = 2 \end{cases} $

Эту систему удобно решать методом сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ противоположны по знаку. Сложим левые и правые части обоих уравнений:
$(x^2 - y) + (2x + y) = -3 + 2$

Упростим полученное выражение. Переменные $y$ и $-y$ взаимно уничтожаются:
$x^2 + 2x = -1$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 + 2x + 1 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом суммы $(x+1)$:
$(x + 1)^2 = 0$

Это уравнение имеет единственный корень:
$x + 1 = 0$
$x = -1$

Поскольку мы получили только одно значение для $x$, система может иметь не более одного решения. Чтобы найти полное решение, подставим значение $x = -1$ в любое из исходных уравнений. Возьмем второе уравнение, $2x + y = 2$:
$2(-1) + y = 2$
$-2 + y = 2$
$y = 2 + 2$
$y = 4$

Таким образом, система имеет единственное решение — пару чисел $(-1, 4)$.

Ответ: одно решение.

6. Установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и множествами их решений, записанными в правом столбце.

Неравенства

А) $x^2 - 6x - 7 > 0$

Б) $x^2 - 6x + 11 > 0$

В) $x^2 + 6x - 7 < 0$

Множества решений

1) $(-7; 1)$

2) $(-\infty; -1) \cup (7; +\infty)$

3) $(-\infty; -7) \cup (1; +\infty)$

4) $(-\infty; +\infty)$

5) $\emptyset$

Для установления соответствия решим каждое неравенство.

А) $x^2 - 6x - 7 > 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 6x - 7$. Это квадратичная функция, график которой — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$.

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 - 6x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2}$.

$x_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1$

$x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7$

Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-1$ и $x=7$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, значения функции положительны при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства $x^2 - 6x - 7 > 0$ есть объединение интервалов $(-\infty; -1) \cup (7; +\infty)$.

Это соответствует множеству решений под номером 2.

Ответ: 2

Б) $x^2 - 6x + 11 > 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 6x + 11$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 - 6x + 11 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола находится выше оси Ox. Следовательно, выражение $x^2 - 6x + 11$ всегда положительно при любом значении $x$.

Множество решений неравенства — все действительные числа, то есть $(-\infty; +\infty)$.

Это соответствует множеству решений под номером 4.

Ответ: 4

В) $x^2 + 6x - 7 < 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 6x - 7$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 + 6x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2}$.

$x_1 = \frac{-6 - 8}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1$

Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-7$ и $x=1$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, значения функции отрицательны между корнями.

Таким образом, решение неравенства $x^2 + 6x - 7 < 0$ есть интервал $(-7; 1)$.

Это соответствует множеству решений под номером 1.

Ответ: 1

Итоговое соответствие: А-2, Б-4, В-1.