Номер 6, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и множествами их решений, записанными в правом столбце.

Неравенства

А) $x^2 - 6x - 7 > 0$

Б) $x^2 - 6x + 11 > 0$

В) $x^2 + 6x - 7 < 0$

Множества решений

1) $(-7; 1)$

2) $(-\infty; -1) \cup (7; +\infty)$

3) $(-\infty; -7) \cup (1; +\infty)$

4) $(-\infty; +\infty)$

5) $\emptyset$

Для установления соответствия решим каждое неравенство.

А) $x^2 - 6x - 7 > 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 6x - 7$. Это квадратичная функция, график которой — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$.

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 - 6x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2}$.

$x_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1$

$x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7$

Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-1$ и $x=7$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, значения функции положительны при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства $x^2 - 6x - 7 > 0$ есть объединение интервалов $(-\infty; -1) \cup (7; +\infty)$.

Это соответствует множеству решений под номером 2.

Ответ: 2

Б) $x^2 - 6x + 11 > 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 6x + 11$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 - 6x + 11 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола находится выше оси Ox. Следовательно, выражение $x^2 - 6x + 11$ всегда положительно при любом значении $x$.

Множество решений неравенства — все действительные числа, то есть $(-\infty; +\infty)$.

Это соответствует множеству решений под номером 4.

Ответ: 4

В) $x^2 + 6x - 7 < 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 6x - 7$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 + 6x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2}$.

$x_1 = \frac{-6 - 8}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1$

Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-7$ и $x=1$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, значения функции отрицательны между корнями.

Таким образом, решение неравенства $x^2 + 6x - 7 < 0$ есть интервал $(-7; 1)$.

Это соответствует множеству решений под номером 1.

Ответ: 1

Итоговое соответствие: А-2, Б-4, В-1.