Номер 10, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

10. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x + 2y = 2, \\ xy - 3y = -1. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

$ \begin{cases} x + 2y = 2, \\ xy - 3y = -1. \end{cases} $

Сначала выразим переменную $x$ из первого, линейного, уравнения:

$x + 2y = 2 \implies x = 2 - 2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(2 - 2y)y - 3y = -1$

Решим полученное уравнение относительно $y$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2y - 2y^2 - 3y = -1$

$-2y^2 - y = -1$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение с положительным коэффициентом при $y^2$:

$0 = 2y^2 + y - 1$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Далее найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя выражение $x = 2 - 2y$.

Если $y_1 = \frac{1}{2}$, то:

$x_1 = 2 - 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 2 - 1 = 1$

Таким образом, первая пара решений: $(1; \frac{1}{2})$.

Если $y_2 = -1$, то:

$x_2 = 2 - 2 \cdot (-1) = 2 + 2 = 4$

Таким образом, вторая пара решений: $(4; -1)$.

В качестве проверки подставим найденные пары в исходную систему уравнений.

Для пары $(1; \frac{1}{2})$:

$1 + 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 1 + 1 = 2$

$1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) - 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1$

Оба равенства верны.

Для пары $(4; -1)$:

$4 + 2 \cdot (-1) = 4 - 2 = 2$

$4 \cdot (-1) - 3 \cdot (-1) = -4 + 3 = -1$

Оба равенства верны.

Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: $(1; \frac{1}{2}), (4; -1)$.