Номер 2, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Укажите неравенство, решением которого является любое действительное число.

1) $x^2 - 6x - 10 > 0$

2) $x^2 + 6x + 10 > 0$

3) $x^2 - 6x - 10 < 0$

4) $x^2 + 6x + 10 < 0$

Для того чтобы определить, решением какого неравенства является любое действительное число, необходимо проанализировать каждое из предложенных выражений.

Квадратичное неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, если график соответствующей параболы $y = ax^2 + bx + c$ полностью расположен выше оси абсцисс. Это происходит при одновременном выполнении двух условий: ветви параболы направлены вверх (коэффициент $a > 0$) и парабола не пересекает ось абсцисс (дискриминант $D = b^2 - 4ac < 0$).

Квадратичное неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ выполняется для всех $x$, если парабола полностью расположена ниже оси абсцисс, что происходит при $a < 0$ и $D < 0$.

Во всех четырех вариантах коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$, что больше нуля. Это означает, что ветви всех парабол направлены вверх. Следовательно, нам нужно искать неравенство вида "$>0$", для которого дискриминант будет отрицательным.

1) $x^2 - 6x - 10 > 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - 6x - 10$. Здесь $a = 1$, $b = -6$, $c = -10$. Ветви параболы направлены вверх, так как $a = 1 > 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 36 + 40 = 76$. Поскольку $D > 0$, уравнение $x^2 - 6x - 10 = 0$ имеет два действительных корня, то есть парабола пересекает ось $Ox$. Значит, существуют значения $x$ (между корнями), при которых выражение $x^2 - 6x - 10$ отрицательно. Также можно выделить полный квадрат: $x^2 - 6x - 10 = (x^2 - 6x + 9) - 9 - 10 = (x-3)^2 - 19$. Неравенство $(x-3)^2 - 19 > 0$ не всегда верно. Например, при $x=3$, левая часть равна $-19$, и неравенство $-19 > 0$ является ложным.
Ответ: решением не является любое действительное число.

2) $x^2 + 6x + 10 > 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 + 6x + 10$. Здесь $a = 1$, $b = 6$, $c = 10$. Ветви параболы направлены вверх, так как $a = 1 > 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$. Поскольку $D < 0$, уравнение $x^2 + 6x + 10 = 0$ не имеет действительных корней. Так как ветви параболы направлены вверх, она полностью расположена выше оси $Ox$. Это означает, что выражение $x^2 + 6x + 10$ всегда положительно. Альтернативный способ — выделение полного квадрата: $x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 6x + 9) + 1 = (x+3)^2 + 1$. Так как $(x+3)^2 \geq 0$ для любого $x$, то $(x+3)^2 + 1 \geq 1$. Поскольку $1 > 0$, то неравенство $(x+3)^2 + 1 > 0$ выполняется для любого действительного числа $x$.
Ответ: решением является любое действительное число.

3) $x^2 - 6x - 10 < 0$

Как показано при анализе пункта 1, выражение $x^2 - 6x - 10$ принимает как положительные, так и отрицательные значения, поскольку соответствующая парабола пересекает ось $Ox$. Следовательно, данное неравенство выполняется не для всех действительных чисел.
Ответ: решением не является любое действительное число.

4) $x^2 + 6x + 10 < 0$

Как показано при анализе пункта 2, выражение $x^2 + 6x + 10$ всегда положительно (его наименьшее значение равно 1). Следовательно, неравенство $x^2 + 6x + 10 < 0$ никогда не выполняется.
Ответ: неравенство не имеет решений.