Номер 7, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Сколько целых решений имеет неравенство $x^2 - 4x \le 21$?

Чтобы найти количество целых решений неравенства, сначала решим это неравенство. Исходное неравенство:

$$x^2 - 4x \le 21$$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести неравенство к стандартному виду $ax^2 + bx + c \le 0$:

$$x^2 - 4x - 21 \le 0$$

Далее найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 21 = 0$. Это позволит нам определить интервалы, на которых выражение $x^2 - 4x - 21$ положительно или отрицательно. Найдем корни с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения $a=1, b=-4, c=-21$.

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$x_1 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

$$x_2 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

Графиком функции $y = x^2 - 4x - 21$ является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент $a=1$ положителен). Значит, значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-3; 7]$, то есть $-3 \le x \le 7$.

Теперь нам нужно найти количество целых чисел, которые входят в этот промежуток. Перечислим их:

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Чтобы посчитать их общее количество, можно из конечного значения вычесть начальное и прибавить единицу:

Количество целых решений = $7 - (-3) + 1 = 7 + 3 + 1 = 11$.

Ответ: 11