Номер 6, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и множествами их решений, записанными в правом столбце.

А) $x^2 - 8x + 18 < 0$

Б) $x^2 - 8x - 9 > 0$

В) $x^2 + 9x + 8 < 0$

1) $(-1; 9)$

2) $(-8; -1)$

3) $(-\infty; -1) \cup (9; +\infty)$

4) $(-\infty; +\infty)$

5) $\emptyset$

А) $x^2 - 8x + 18 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства рассмотрим соответствующую функцию $y = x^2 - 8x + 18$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс, найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 8x + 18$:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 64 - 72 = -8$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у квадратного уравнения $x^2 - 8x + 18 = 0$ нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола находится в верхней полуплоскости, то есть значения выражения $x^2 - 8x + 18$ всегда положительны.

Следовательно, неравенство $x^2 - 8x + 18 < 0$ не имеет решений. Множество решений — пустое множество ($\emptyset$).

Это соответствует варианту 5 в правом столбце.

Ответ: 5

Б) $x^2 - 8x - 9 > 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 8x - 9$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 - 8x - 9 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = -1$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9$.

Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -1$ и $x = 9$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, значения функции положительны ($y > 0$) на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; -1) \cup (9; +\infty)$.

Это соответствует варианту 3 в правом столбце.

Ответ: 3

В) $x^2 + 9x + 8 < 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 9x + 8$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 + 9x + 8 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-9$, а их произведение равно $8$. Легко подобрать корни: $x_1 = -8$ и $x_2 = -1$.

Также можно найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$.

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-9 - 7}{2} = -8$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-9 + 7}{2} = -1$.

Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -8$ и $x = -1$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, значения функции отрицательны ($y < 0$) на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-8; -1)$.

Это соответствует варианту 2 в правом столбце.

Ответ: 2

Итоговое соответствие:

• А - 5
• Б - 3
• В - 2