Номер 3, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. При каком значении $a$ неравенство $x^2 + 12x - a \le 0$ имеет единственное решение?

1) $a = 6$

2) $a = -6$

3) $a = 36$

4) $a = -36$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + 12x - a$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Неравенство $x^2 + 12x - a \le 0$ просит найти значения $x$, при которых график функции $y$ находится на оси абсцисс или ниже неё.

Для параболы с ветвями вверх единственное решение неравенства $y \le 0$ возможно только в одном случае: когда вершина параболы касается оси абсцисс. В этой единственной точке $y=0$, а во всех остальных точках $y > 0$. Если бы парабола пересекала ось в двух точках, решений было бы бесконечно много (целый отрезок). Если бы парабола не пересекала ось, решений бы не было совсем.

Условием того, что парабола касается оси абсцисс в одной точке, является равенство нулю дискриминанта ($D$) соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 12x - a = 0$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a=1$, $b=12$, $c=-a$.
$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 144 + 4a$.

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти искомое значение параметра $a$:
$144 + 4a = 0$
$4a = -144$
$a = \frac{-144}{4}$
$a = -36$.

Проверим: при $a = -36$ неравенство принимает вид $x^2 + 12x - (-36) \le 0$, что равносильно $x^2 + 12x + 36 \le 0$. Левую часть можно свернуть по формуле квадрата суммы: $(x+6)^2 \le 0$. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, единственное возможное решение — это $(x+6)^2 = 0$, что выполняется только при $x = -6$. Следовательно, при $a = -36$ неравенство действительно имеет единственное решение.

Ответ: -36