Номер 11, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

11. Найдите координаты точек пересечения графиков уравнений $x^2 + y^2 = 20$ и $y = x - 6$.

11. Чтобы найти координаты точек пересечения графиков, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих графиков.

Система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 20 \\ y = x - 6 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (x - 6)^2 = 20$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (x^2 - 12x + 36) = 20$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2x^2 - 12x + 36 - 20 = 0$

$2x^2 - 12x + 16 = 0$

Это квадратное уравнение. Для удобства разделим все его члены на 2:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу корней через дискриминант.

Способ 1: По теореме Виета.

Сумма корней $x_1 + x_2 = 6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 8$. Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Способ 2: Через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$

$x_1 = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Теперь найдем соответствующие ординаты, подставив значения $x$ в уравнение $y = x - 6$.

При $x_1 = 2$:

$y_1 = 2 - 6 = -4$

Первая точка пересечения имеет координаты $(2; -4)$.

При $x_2 = 4$:

$y_2 = 4 - 6 = -2$

Вторая точка пересечения имеет координаты $(4; -2)$.

Ответ: $(2; -4)$, $(4; -2)$.