Номер 1, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите неравенство, множество решений которого изображено на рисунке 46.

1) $x^2 - 25 \ge 0$

2) $x^2 - 5x \ge 0$

3) $x^2 - 25 \le 0$

4) $x^2 - 5x \le 0$

Рис. 46

На рисунке 46 изображено множество решений неравенства. Это числовой отрезок, концами которого являются точки 0 и 5. Так как точки на концах отрезка закрашены (сплошные), они включаются в решение. Таким образом, искомое множество решений — это промежуток $[0, 5]$, что соответствует двойному неравенству $0 \le x \le 5$.

Теперь решим каждое из предложенных неравенств, чтобы найти то, которое соответствует этому промежутку.

1) $x^2 - 25 \ge 0$

Сначала найдём корни соответствующего уравнения $x^2 - 25 = 0$. Используя формулу разности квадратов, получаем $(x-5)(x+5) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$. Графиком функции $y = x^2 - 25$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции неотрицательны ($y \ge 0$) на промежутках вне корней. Решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty, -5] \cup [5, \infty)$. Это не совпадает с промежутком на рисунке.

2) $x^2 - 5x \ge 0$

Найдём корни уравнения $x^2 - 5x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x-5) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$. Графиком функции $y = x^2 - 5x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны ($y \ge 0$) на промежутках вне корней. Решением является объединение промежутков $(-\infty, 0] \cup [5, \infty)$. Это не совпадает с промежутком на рисунке.

3) $x^2 - 25 \le 0$

Корни уравнения $x^2 - 25 = 0$ равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 25$ направлены вверх, значения функции неположительны ($y \le 0$) на промежутке между корнями. Решением является отрезок $[-5, 5]$. Это не совпадает с промежутком на рисунке.

4) $x^2 - 5x \le 0$

Корни уравнения $x^2 - 5x = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 5x$ направлены вверх, значения функции неположительны ($y \le 0$) на промежутке между корнями. Решением является отрезок $[0, 5]$. Это решение полностью совпадает с множеством, изображенным на рисунке 46.

Ответ: 4