Страница 125 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите неравенство, множество решений которого изображено на рисунке 46.

1) $x^2 - 25 \ge 0$

2) $x^2 - 5x \ge 0$

3) $x^2 - 25 \le 0$

4) $x^2 - 5x \le 0$

Рис. 46

На рисунке 46 изображено множество решений неравенства. Это числовой отрезок, концами которого являются точки 0 и 5. Так как точки на концах отрезка закрашены (сплошные), они включаются в решение. Таким образом, искомое множество решений — это промежуток $[0, 5]$, что соответствует двойному неравенству $0 \le x \le 5$.

Теперь решим каждое из предложенных неравенств, чтобы найти то, которое соответствует этому промежутку.

1) $x^2 - 25 \ge 0$

Сначала найдём корни соответствующего уравнения $x^2 - 25 = 0$. Используя формулу разности квадратов, получаем $(x-5)(x+5) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$. Графиком функции $y = x^2 - 25$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции неотрицательны ($y \ge 0$) на промежутках вне корней. Решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty, -5] \cup [5, \infty)$. Это не совпадает с промежутком на рисунке.

2) $x^2 - 5x \ge 0$

Найдём корни уравнения $x^2 - 5x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x-5) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$. Графиком функции $y = x^2 - 5x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны ($y \ge 0$) на промежутках вне корней. Решением является объединение промежутков $(-\infty, 0] \cup [5, \infty)$. Это не совпадает с промежутком на рисунке.

3) $x^2 - 25 \le 0$

Корни уравнения $x^2 - 25 = 0$ равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 25$ направлены вверх, значения функции неположительны ($y \le 0$) на промежутке между корнями. Решением является отрезок $[-5, 5]$. Это не совпадает с промежутком на рисунке.

4) $x^2 - 5x \le 0$

Корни уравнения $x^2 - 5x = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 5x$ направлены вверх, значения функции неположительны ($y \le 0$) на промежутке между корнями. Решением является отрезок $[0, 5]$. Это решение полностью совпадает с множеством, изображенным на рисунке 46.

Ответ: 4

2. Укажите неравенство, решением которого является любое действительное число.

1) $x^2 - 6x - 10 > 0$

2) $x^2 + 6x + 10 > 0$

3) $x^2 - 6x - 10 < 0$

4) $x^2 + 6x + 10 < 0$

Для того чтобы определить, решением какого неравенства является любое действительное число, необходимо проанализировать каждое из предложенных выражений.

Квадратичное неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, если график соответствующей параболы $y = ax^2 + bx + c$ полностью расположен выше оси абсцисс. Это происходит при одновременном выполнении двух условий: ветви параболы направлены вверх (коэффициент $a > 0$) и парабола не пересекает ось абсцисс (дискриминант $D = b^2 - 4ac < 0$).

Квадратичное неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ выполняется для всех $x$, если парабола полностью расположена ниже оси абсцисс, что происходит при $a < 0$ и $D < 0$.

Во всех четырех вариантах коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$, что больше нуля. Это означает, что ветви всех парабол направлены вверх. Следовательно, нам нужно искать неравенство вида "$>0$", для которого дискриминант будет отрицательным.

1) $x^2 - 6x - 10 > 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - 6x - 10$. Здесь $a = 1$, $b = -6$, $c = -10$. Ветви параболы направлены вверх, так как $a = 1 > 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 36 + 40 = 76$. Поскольку $D > 0$, уравнение $x^2 - 6x - 10 = 0$ имеет два действительных корня, то есть парабола пересекает ось $Ox$. Значит, существуют значения $x$ (между корнями), при которых выражение $x^2 - 6x - 10$ отрицательно. Также можно выделить полный квадрат: $x^2 - 6x - 10 = (x^2 - 6x + 9) - 9 - 10 = (x-3)^2 - 19$. Неравенство $(x-3)^2 - 19 > 0$ не всегда верно. Например, при $x=3$, левая часть равна $-19$, и неравенство $-19 > 0$ является ложным.
Ответ: решением не является любое действительное число.

2) $x^2 + 6x + 10 > 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 + 6x + 10$. Здесь $a = 1$, $b = 6$, $c = 10$. Ветви параболы направлены вверх, так как $a = 1 > 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$. Поскольку $D < 0$, уравнение $x^2 + 6x + 10 = 0$ не имеет действительных корней. Так как ветви параболы направлены вверх, она полностью расположена выше оси $Ox$. Это означает, что выражение $x^2 + 6x + 10$ всегда положительно. Альтернативный способ — выделение полного квадрата: $x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 6x + 9) + 1 = (x+3)^2 + 1$. Так как $(x+3)^2 \geq 0$ для любого $x$, то $(x+3)^2 + 1 \geq 1$. Поскольку $1 > 0$, то неравенство $(x+3)^2 + 1 > 0$ выполняется для любого действительного числа $x$.
Ответ: решением является любое действительное число.

3) $x^2 - 6x - 10 < 0$

Как показано при анализе пункта 1, выражение $x^2 - 6x - 10$ принимает как положительные, так и отрицательные значения, поскольку соответствующая парабола пересекает ось $Ox$. Следовательно, данное неравенство выполняется не для всех действительных чисел.
Ответ: решением не является любое действительное число.

4) $x^2 + 6x + 10 < 0$

Как показано при анализе пункта 2, выражение $x^2 + 6x + 10$ всегда положительно (его наименьшее значение равно 1). Следовательно, неравенство $x^2 + 6x + 10 < 0$ никогда не выполняется.
Ответ: неравенство не имеет решений.

3. При каком значении $a$ неравенство $x^2 + 12x - a \le 0$ имеет единственное решение?

1) $a = 6$

2) $a = -6$

3) $a = 36$

4) $a = -36$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + 12x - a$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Неравенство $x^2 + 12x - a \le 0$ просит найти значения $x$, при которых график функции $y$ находится на оси абсцисс или ниже неё.

Для параболы с ветвями вверх единственное решение неравенства $y \le 0$ возможно только в одном случае: когда вершина параболы касается оси абсцисс. В этой единственной точке $y=0$, а во всех остальных точках $y > 0$. Если бы парабола пересекала ось в двух точках, решений было бы бесконечно много (целый отрезок). Если бы парабола не пересекала ось, решений бы не было совсем.

Условием того, что парабола касается оси абсцисс в одной точке, является равенство нулю дискриминанта ($D$) соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 12x - a = 0$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a=1$, $b=12$, $c=-a$.
$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 144 + 4a$.

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти искомое значение параметра $a$:
$144 + 4a = 0$
$4a = -144$
$a = \frac{-144}{4}$
$a = -36$.

Проверим: при $a = -36$ неравенство принимает вид $x^2 + 12x - (-36) \le 0$, что равносильно $x^2 + 12x + 36 \le 0$. Левую часть можно свернуть по формуле квадрата суммы: $(x+6)^2 \le 0$. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, единственное возможное решение — это $(x+6)^2 = 0$, что выполняется только при $x = -6$. Следовательно, при $a = -36$ неравенство действительно имеет единственное решение.

Ответ: -36

4. Какие фигуры являются графиками уравнений системы $\begin{cases} x^2 + y = 6, \\ x + y = 6? \end{cases}$

1) окружность и прямая

2) окружность и парабола

3) парабола и прямая

4) парабола и гипербола

Для того чтобы определить, какие фигуры являются графиками уравнений данной системы, рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

Выразим переменную $y$ через $x$ из первого уравнения:
$y = -x^2 + 6$
Это уравнение является квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -1$, $b = 0$ и $c = 6$. Графиком квадратичной функции является парабола. Поскольку коэффициент $a$ отрицательный ($a = -1 < 0$), ветви параболы направлены вниз.

Теперь рассмотрим второе уравнение системы и также выразим из него переменную $y$:
$y = -x + 6$
Это уравнение является линейной функцией вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -1$, а свободный член $b = 6$. Графиком линейной функции является прямая.

Итак, графиком первого уравнения является парабола, а графиком второго уравнения — прямая. Следовательно, правильный вариант ответа — "парабола и прямая".

Ответ: 3) парабола и прямая

5. Сколько решений имеет система уравнений $ \begin{cases} x^2 + y = 3, \\ x - y = 2? \end{cases} $

1) решений нет

2) одно решение

3) два решения

4) четыре решения

Для того чтобы определить количество решений системы уравнений, можно использовать метод подстановки. Рассмотрим данную систему:

$$ \begin{cases} x^2 + y = 3 \\ x - y = 2 \end{cases} $$

Сначала выразим одну переменную через другую из второго, более простого, уравнения.

Из уравнения $x - y = 2$ выразим y:

$y = x - 2$

Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение системы:

$x^2 + (x - 2) = 3$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной x. Упростим его, приведя к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + x - 2 - 3 = 0$

$x^2 + x - 5 = 0$

Количество решений этого квадратного уравнения соответствует количеству решений исходной системы. Чтобы найти количество решений, необходимо вычислить дискриминант ($D = b^2 - 4ac$).

В нашем уравнении коэффициенты равны: $a=1$, $b=1$, $c=-5$.

Вычисляем дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21$

Так как дискриминант $D = 21$ больше нуля ($D > 0$), квадратное уравнение имеет два различных действительных корня для x. Каждому из этих двух значений x будет соответствовать одно определенное значение y (из формулы $y = x - 2$).

Таким образом, система имеет две пары решений $(x, y)$, а значит, у нее два решения.

Ответ: 3) два решения

6. Установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и множествами их решений, записанными в правом столбце.

А) $x^2 - 8x + 18 < 0$

Б) $x^2 - 8x - 9 > 0$

В) $x^2 + 9x + 8 < 0$

1) $(-1; 9)$

2) $(-8; -1)$

3) $(-\infty; -1) \cup (9; +\infty)$

4) $(-\infty; +\infty)$

5) $\emptyset$

А) $x^2 - 8x + 18 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства рассмотрим соответствующую функцию $y = x^2 - 8x + 18$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс, найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 8x + 18$:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 64 - 72 = -8$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у квадратного уравнения $x^2 - 8x + 18 = 0$ нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола находится в верхней полуплоскости, то есть значения выражения $x^2 - 8x + 18$ всегда положительны.

Следовательно, неравенство $x^2 - 8x + 18 < 0$ не имеет решений. Множество решений — пустое множество ($\emptyset$).

Это соответствует варианту 5 в правом столбце.

Ответ: 5

Б) $x^2 - 8x - 9 > 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 8x - 9$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 - 8x - 9 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = -1$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9$.

Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -1$ и $x = 9$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, значения функции положительны ($y > 0$) на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; -1) \cup (9; +\infty)$.

Это соответствует варианту 3 в правом столбце.

Ответ: 3

В) $x^2 + 9x + 8 < 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 9x + 8$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 + 9x + 8 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-9$, а их произведение равно $8$. Легко подобрать корни: $x_1 = -8$ и $x_2 = -1$.

Также можно найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$.

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-9 - 7}{2} = -8$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-9 + 7}{2} = -1$.

Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -8$ и $x = -1$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, значения функции отрицательны ($y < 0$) на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-8; -1)$.

Это соответствует варианту 2 в правом столбце.

Ответ: 2

Итоговое соответствие:

• А - 5
• Б - 3
• В - 2