Страница 120 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Сколько целых решений имеет неравенство $x^2 - 14x \le -45$?

Для решения данного квадратного неравенства сначала приведем его к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:

$x^2 - 14x \le -45$

$x^2 - 14x + 45 \le 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 14x + 45 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

Найдем дискриминант ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 196 - 180 = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 4}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Графиком функции $y = x^2 - 14x + 45$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2 - 14x + 45 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является отрезок $[5; 9]$.

Теперь нужно найти количество целых чисел, принадлежащих этому отрезку. Перечислим их:

5, 6, 7, 8, 9.

Всего таких чисел 5.

Ответ: 5

8. При каких значениях b уравнение $5x^2 - bx + 5 = 0$ не имеет корней?

Данное уравнение $5x^2 - bx + 5 = 0$ является квадратным. Количество действительных корней квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта $D$. Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен, то есть $D < 0$.

Общая формула дискриминанта для уравнения вида $ax^2 + kx + c = 0$ выглядит так: $D = k^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a=5$, $k=-b$ (коэффициент при $x$), $c=5$.

Вычислим дискриминант для данного уравнения:

$D = (-b)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = b^2 - 100$

Теперь применим условие отсутствия корней, то есть $D < 0$:

$b^2 - 100 < 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем сначала корни соответствующего уравнения $b^2 - 100 = 0$.

$b^2 = 100$

$b_1 = -10$ и $b_2 = 10$

Графиком функции $y = b^2 - 100$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны на интервале между ее корнями.

Следовательно, решение неравенства $b^2 - 100 < 0$ — это интервал $(-10, 10)$, что можно записать в виде двойного неравенства: $-10 < b < 10$.

При этих значениях $b$ дискриминант будет отрицательным, и уравнение $5x^2 - bx + 5 = 0$ не будет иметь действительных корней.

Ответ: $b \in (-10; 10)$.

9. Пара чисел $(a; b)$ является решением системы уравнений

$\begin{cases} x - y = 4, \\ x^2 - y^2 = 24. \end{cases}$ Найдите значение выражения $ab$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 4 \\ x^2 - y^2 = 24 \end{cases} $

По условию, пара чисел $(a; b)$ является решением этой системы, это означает, что $x=a$ и $y=b$. Нам нужно найти значение выражения $ab$.

Для решения системы воспользуемся формулой разности квадратов для второго уравнения: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Подставим это выражение в систему:

$ \begin{cases} x - y = 4 \\ (x - y)(x + y) = 24 \end{cases} $

Теперь подставим значение $(x-y)$ из первого уравнения во второе:

$4 \cdot (x + y) = 24$

Найдем значение суммы $(x + y)$, разделив обе части уравнения на 4:

$x + y = \frac{24}{4}$

$x + y = 6$

Теперь мы имеем новую, более простую систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 6 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x - y) + (x + y) = 4 + 6$

$2x = 10$

$x = 5$

Подставим найденное значение $x=5$ в любое из уравнений, например, во второе ($x + y = 6$):

$5 + y = 6$

$y = 6 - 5$

$y = 1$

Таким образом, решение системы — это пара чисел $(5; 1)$. Следовательно, $a=5$ и $b=1$.

Теперь найдем значение искомого выражения $ab$:

$ab = 5 \cdot 1 = 5$

Ответ: 5

10. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x - 3y = 4, \\ xy - 6y = 1. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений $$ \begin{cases} x - 3y = 4, \\ xy - 6y = 1. \end{cases} $$ воспользуемся методом подстановки.

Сначала выразим переменную $x$ из первого уравнения системы:

$x = 4 + 3y$.

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(4 + 3y)y - 6y = 1$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно переменной $y$:

$4y + 3y^2 - 6y = 1$

$3y^2 - 2y - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя ранее выведенную формулу $x = 4 + 3y$.

1. Если $y_1 = 1$, то:

$x_1 = 4 + 3 \cdot 1 = 4 + 3 = 7$.

Первая пара решений: $(7; 1)$.

2. Если $y_2 = -\frac{1}{3}$, то:

$x_2 = 4 + 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 4 - 1 = 3$.

Вторая пара решений: $(3; -\frac{1}{3})$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(7; 1)$, $(3; -\frac{1}{3})$.

11. Найдите координаты точек пересечения графиков уравнений $x^2 + y^2 = 10$ и $y = x - 2$.

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков уравнений, необходимо решить систему этих уравнений. Точки пересечения являются общими точками для обоих графиков, поэтому их координаты $(x; y)$ должны удовлетворять обоим уравнениям одновременно.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ y = x - 2 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (x - 2)^2 = 10$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (x^2 - 4x + 4) = 10$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 4x + 4 = 10$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - 4x + 4 - 10 = 0$

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно найти корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -3$. Подбором находим корни:

$x_1 = 3$

$x_2 = -1$

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, подставив $x$ в уравнение $y = x - 2$.

1. При $x_1 = 3$:

$y_1 = 3 - 2 = 1$

Следовательно, первая точка пересечения имеет координаты $(3; 1)$.

2. При $x_2 = -1$:

$y_2 = -1 - 2 = -3$

Следовательно, вторая точка пересечения имеет координаты $(-1; -3)$.

Ответ: $(3; 1)$ и $(-1; -3)$.

12. При каких значениях $a$ прямая $4x - y = a$ имеет с параболой $y = x^2 - 6$ одну общую точку?

Для того чтобы прямая и парабола имели одну общую точку, система уравнений, описывающих их, должна иметь единственное решение. Это означает, что прямая является касательной к параболе.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases}4x - y = a \\y = x^2 - 6\end{cases}$

Для решения системы подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$4x - (x^2 - 6) = a$

$4x - x^2 + 6 = a$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - 4x + a - 6 = 0$

Квадратное уравнение имеет ровно одно решение, когда его дискриминант ($D$) равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения коэффициенты равны:

$a=1$, $b=-4$, $c = a-6$

Вычислим дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 6)$

$D = 16 - 4(a - 6)$

$D = 16 - 4a + 24$

$D = 40 - 4a$

Приравняем дискриминант к нулю и найдем значение $a$:

$40 - 4a = 0$

$4a = 40$

$a = \frac{40}{4}$

$a = 10$

Следовательно, при $a=10$ прямая и парабола имеют одну общую точку.

Ответ: $10$.