Страница 113 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Областью определения какой из данных функций является промежуток $(-\infty; -9)$?

1) $y = \sqrt{x+9}$

2) $y = \frac{1}{\sqrt{x+9}}$

3) $y = \sqrt{-x-9}$

4) $y = \frac{1}{\sqrt{-x-9}}$

Чтобы определить, у какой из данных функций область определения совпадает с промежутком $(-\infty; -9)$, необходимо найти область определения для каждой функции.

1) $y = \sqrt{x+9}$
Область определения функции, содержащей квадратный корень, находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$x + 9 \ge 0$
$x \ge -9$
Таким образом, область определения этой функции — промежуток $[-9; +\infty)$.

2) $y = \frac{1}{\sqrt{x+9}}$
Для данной функции подкоренное выражение находится в знаменателе, поэтому оно должно быть строго положительным (неотрицательным из-за корня и не равным нулю из-за знаменателя).
$x + 9 > 0$
$x > -9$
Таким образом, область определения этой функции — промежуток $(-9; +\infty)$.

3) $y = \sqrt{-x-9}$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$-x - 9 \ge 0$
$-x \ge 9$
Умножая обе части неравенства на -1, меняем знак неравенства на противоположный:
$x \le -9$
Таким образом, область определения этой функции — промежуток $(-\infty; -9]$.

4) $y = \frac{1}{\sqrt{-x-9}}$
Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным.
$-x - 9 > 0$
$-x > 9$
Умножая обе части неравенства на -1, меняем знак неравенства на противоположный:
$x < -9$
Таким образом, область определения этой функции — промежуток $(-\infty; -9)$.

Сравнивая полученные результаты с промежутком, указанным в условии, $(-\infty; -9)$, мы заключаем, что он соответствует области определения функции под номером 4.

Ответ: 4

2. Как надо параллельно перенести график функции $y = \frac{13}{x}$, чтобы получить график функции $y = \frac{13}{x} + 10$?

1) на 10 единиц вверх

2) на 10 единиц вниз

3) на 10 единиц влево

4) на 10 единиц вправо

Для того чтобы определить, как необходимо выполнить параллельный перенос графика функции $y = \frac{13}{x}$ для получения графика функции $y = \frac{13}{x} + 10$, нужно проанализировать различие между уравнениями этих двух функций.

Исходная функция: $f(x) = \frac{13}{x}$.

Новая функция: $g(x) = \frac{13}{x} + 10$.

Мы видим, что новая функция $g(x)$ получается из исходной функции $f(x)$ путем прибавления константы 10, то есть $g(x) = f(x) + 10$.

В общем виде преобразование графика функции $y = f(x)$ в график $y = f(x) + c$ представляет собой параллельный перенос вдоль оси ординат (вертикальной оси $y$):

- если $c > 0$, то график сдвигается на $c$ единиц вверх;
- если $c < 0$, то график сдвигается на $|c|$ единиц вниз.

В нашем случае $c = 10$, и это значение положительное. Следовательно, для получения графика функции $y = \frac{13}{x} + 10$ необходимо перенести график функции $y = \frac{13}{x}$ на 10 единиц вверх.

Этот вариант соответствует пункту 1.

Ответ: 1) на 10 единиц вверх

3. График функции $y = \sqrt{x}$ параллельно перенесли на 8 единиц влево и на 2 единицы вверх. График какой функции получили?

1) $y = \sqrt{x+8}+2$

2) $y = \sqrt{x+2}-8$

3) $y = \sqrt{x-8}-2$

4) $y = \sqrt{x-2}+8$

Для решения этой задачи необходимо применить правила преобразования графиков функций.

Исходная функция: $y = \sqrt{x}$.

Преобразования выполняются последовательно:

1. Параллельный перенос на 8 единиц влево.
Сдвиг графика функции $y = f(x)$ на $a$ единиц влево описывается функцией $y = f(x+a)$. В нашем случае $a = 8$, поэтому мы заменяем $x$ на $x+8$ в исходной функции.
Получаем промежуточную функцию: $y = \sqrt{x+8}$.

2. Параллельный перенос на 2 единицы вверх.
Сдвиг графика функции $y = f(x)$ на $b$ единиц вверх описывается функцией $y = f(x) + b$. В нашем случае $b = 2$, поэтому мы прибавляем 2 к функции, полученной на предыдущем шаге.
Получаем итоговую функцию: $y = \sqrt{x+8} + 2$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту 1).

Ответ: 1) $y = \sqrt{x+8} + 2$

4. На каком из рисунков изображён график функции

$y = 3 - x^2$

1) 2) 3) 4)

Для того чтобы определить, какой из предложенных графиков соответствует функции $y = 3 - x^2$, необходимо проанализировать свойства этой функции.

1. Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Запишем уравнение в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$, получим $y = -x^2 + 0 \cdot x + 3$. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Этому условию удовлетворяют только графики на рисунках 2 и 3. Следовательно, графики 1 и 4 не подходят.

2. Найдём координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a = -1$ и $b = 0$, поэтому:
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
Для нахождения ординаты вершины $y_0$ подставим найденное значение $x_0 = 0$ в уравнение функции:
$y_0 = 3 - (0)^2 = 3$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(0, 3)$.

3. Теперь сравним полученные результаты с оставшимися вариантами графиков.

• На рисунке 2 изображена парабола с ветвями вниз, но её вершина находится не на оси ординат (абсцисса $x_0 > 0$) и её ордината меньше 1. Этот вариант не подходит.
• На рисунке 3 изображена парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 3)$, что полностью соответствует нашим расчетам.

Следовательно, график функции $y = 3 - x^2$ изображён на рисунке под номером 3.

Ответ: 3

5. Вершина какой из данных парабол принадлежит оси абсцисс?

1) $y = x^2 - 2x$

2) $y = x^2 - 2$

3) $y = (x - 2)^2$

4) $y = x^2 + 2$

Вершина параболы принадлежит оси абсцисс (оси $Ox$), если ее ордината (координата $y$) равна нулю. Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ можно найти, представив уравнение в виде $y=a(x-x_0)^2+y_0$ или используя формулы для уравнения вида $y=ax^2+bx+c$: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$. Проверим каждую из предложенных парабол.

Уравнение параболы задано в виде $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=-2$, $c=0$. Найдем абсциссу вершины $x_0$ по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. Теперь найдем ординату вершины $y_0$, подставив значение $x_0$ в уравнение параболы: $y_0 = y(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$. Координаты вершины: $(1, -1)$. Так как ордината $y_0 = -1 \neq 0$, вершина этой параболы не принадлежит оси абсцисс.

Ответ: вершина не принадлежит оси абсцисс.

Уравнение параболы задано в виде $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=0$, $c=-2$. Найдем абсциссу вершины $x_0$: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$. Найдем ординату вершины $y_0$: $y_0 = y(0) = 0^2 - 2 = -2$. Координаты вершины: $(0, -2)$. Так как ордината $y_0 = -2 \neq 0$, вершина этой параболы не принадлежит оси абсцисс.

Ответ: вершина не принадлежит оси абсцисс.

Уравнение параболы задано в виде $y = a(x-h)^2 + k$, где $(h, k)$ - координаты вершины. В данном случае уравнение можно записать как $y = (x - 2)^2 + 0$. Отсюда видно, что координаты вершины параболы: $(2, 0)$. Ордината вершины $y_0 = 0$. Это означает, что вершина параболы лежит на оси абсцисс.

Ответ: вершина принадлежит оси абсцисс.

Уравнение параболы можно представить в виде $y = (x - 0)^2 + 2$. Это форма $y = a(x-h)^2 + k$ с вершиной в точке $(h, k)$. Координаты вершины: $(0, 2)$. Ордината вершины $y_0 = 2 \neq 0$, следовательно, вершина этой параболы не принадлежит оси абсцисс.

Ответ: вершина не принадлежит оси абсцисс.

Таким образом, единственная парабола из предложенных, вершина которой принадлежит оси абсцисс, — это $y=(x-2)^2$, что соответствует варианту 3.