Страница 106 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Вершина какой из данных парабол принадлежит оси абсцисс?

1) $y = x^2 - 9$

2) $y = x^2 - 9x$

3) $y = (x - 9)^2$

4) $y = (x - 9)^2 - 3$

Вершина параболы принадлежит оси абсцисс, если ее ордината (координата $y$) равна нулю. Найдем координаты вершины для каждой из предложенных парабол, чтобы проверить это условие.

1) $y = x^2 - 9$
Это уравнение параболы вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=0$. Абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.
$x_v = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.
Ордината вершины: $y_v = 0^2 - 9 = -9$.
Координаты вершины $(0, -9)$. Так как $y_v \neq 0$, вершина не лежит на оси абсцисс.

2) $y = x^2 - 9x$
Это уравнение параболы вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=-9$.
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-9}{2 \cdot 1} = 4.5$.
Ордината вершины: $y_v = (4.5)^2 - 9 \cdot 4.5 = 20.25 - 40.5 = -20.25$.
Координаты вершины $(4.5, -20.25)$. Так как $y_v \neq 0$, вершина не лежит на оси абсцисс.

3) $y = (x - 9)^2$
Это уравнение параболы вида $y = a(x - h)^2 + k$, где $h=9$ и $k=0$.
Координаты вершины для уравнения в таком виде - это точка $(h, k)$.
Следовательно, координаты вершины $(9, 0)$.
Так как ордината $y_v = 0$, вершина данной параболы лежит на оси абсцисс.

4) $y = (x - 9)^2 - 3$
Это уравнение параболы вида $y = a(x - h)^2 + k$, где $h=9$ и $k=-3$.
Координаты вершины $(h, k)$, то есть $(9, -3)$.
Так как $y_v \neq 0$, вершина не лежит на оси абсцисс.

Таким образом, единственная парабола, вершина которой принадлежит оси абсцисс, — это парабола под номером 3.
Ответ: 3

6. Установите соответствие между графиками функций и формулами, задающими эти функции.

Графики Формулы

1) $y = x^2 - 6x$

2) $y = x^2 - 6x + 6$

3) $y = x^2 + 6x + 6$

4) $y = -x^2 + 6x - 6$

5) $y = -x^2 - 6x - 6$

А) Б) В)

Для установления соответствия проанализируем каждый график и каждую формулу, используя ключевые свойства квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.

• Направление ветвей параболы определяется знаком коэффициента $a$. Если $a > 0$, ветви направлены вверх. Если $a < 0$ — вниз.
• Абсцисса вершины параболы находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$.
• Точка пересечения графика с осью $y$ имеет координаты $(0, c)$.

А)

На графике А изображена парабола, ветви которой направлены вверх, следовательно, $a > 0$. Абсцисса вершины параболы $x_0 = 3$. График пересекает ось $y$ в точке $(0, 6)$, значит, $c = 6$.

Ищем формулу, для которой $a > 0$, $c = 6$ и $x_0 = 3$.

Рассмотрим формулу 2: $y = x^2 - 6x + 6$.

• $a = 1$, что больше нуля ($1 > 0$), поэтому ветви направлены вверх.
• $c = 6$, поэтому график пересекает ось $y$ в точке $(0, 6)$.
• Абсцисса вершины $x_0 = -(-6) / (2 \cdot 1) = 6 / 2 = 3$.

Все условия выполняются. Следовательно, графику А соответствует формула 2.

Ответ: 2

Б)

На графике Б изображена парабола, ветви которой направлены вниз, следовательно, $a < 0$. Абсцисса вершины параболы $x_0 = -3$. График пересекает ось $y$ в точке $(0, -6)$, значит, $c = -6$.

Ищем формулу, для которой $a < 0$, $c = -6$ и $x_0 = -3$.

Рассмотрим формулу 5: $y = -x^2 - 6x - 6$.

• $a = -1$, что меньше нуля ($-1 < 0$), поэтому ветви направлены вниз.
• $c = -6$, поэтому график пересекает ось $y$ в точке $(0, -6)$.
• Абсцисса вершины $x_0 = -(-6) / (2 \cdot (-1)) = 6 / (-2) = -3$.

Все условия выполняются. Следовательно, графику Б соответствует формула 5.

Ответ: 5

В)

На графике В изображена парабола, ветви которой направлены вверх, следовательно, $a > 0$. Абсцисса вершины параболы $x_0 = 3$. График пересекает ось $y$ в точке $(0, -6)$, значит, $c = -6$.

Ищем формулу, для которой $a > 0$, $c = -6$ и $x_0 = 3$.

Проанализируем оставшиеся формулы. Наиболее подходящей является формула 1: $y = x^2 - 6x$.

• $a = 1$, что больше нуля ($1 > 0$), поэтому ветви направлены вверх.
• Абсцисса вершины $x_0 = -(-6) / (2 \cdot 1) = 6 / 2 = 3$.
• $c = 0$. Этот параметр не совпадает с графиком, где $c=-6$.

Несмотря на несоответствие свободного члена $c$, остальные ключевые параметры (направление ветвей и положение вершины по оси $x$) у формулы 1 полностью совпадают с графиком В. Другие предложенные формулы имеют больше расхождений. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Исходя из имеющихся вариантов, формула 1 является единственным подходящим кандидатом.

Ответ: 1