Страница 105 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Областью определения какой из данных функций является промежуток $(-\infty; 7)$?

1) $y = \sqrt{7 + x}$

2) $y = \sqrt{7 - x}$

3) $y = \frac{1}{\sqrt{7 + x}}$

4) $y = \frac{1}{\sqrt{7 - x}}$

Для того чтобы определить, у какой из предложенных функций область определения совпадает с промежутком $(-\infty; 7)$, необходимо найти область определения для каждой функции.

1) $y = \sqrt{7 + x}$

Область определения функции, содержащей квадратный корень, задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Запишем и решим неравенство:

$7 + x \ge 0$

$x \ge -7$

Таким образом, область определения этой функции – промежуток $[-7; +\infty)$. Этот промежуток не совпадает с $(-\infty; 7)$.

2) $y = \sqrt{7 - x}$

Аналогично предыдущему пункту, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Запишем и решим неравенство:

$7 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть:

$7 \ge x$, что равносильно $x \le 7$.

Область определения этой функции – промежуток $(-\infty; 7]$. Этот промежуток отличается от заданного $(-\infty; 7)$, так как включает в себя точку $x=7$.

3) $y = \frac{1}{\sqrt{7 + x}}$

В этом случае функция определена, когда выполняются два условия: подкоренное выражение неотрицательно, и знаменатель дроби не равен нулю. Поскольку корень находится в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго положительным.

Запишем и решим строгое неравенство:

$7 + x > 0$

$x > -7$

Область определения этой функции – промежуток $(-7; +\infty)$. Этот промежуток не совпадает с $(-\infty; 7)$.

4) $y = \frac{1}{\sqrt{7 - x}}$

Как и в предыдущем случае, подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным, чтобы функция была определена.

Запишем и решим строгое неравенство:

$7 - x > 0$

Перенесем $x$ в правую часть:

$7 > x$, что равносильно $x < 7$.

Область определения этой функции – промежуток $(-\infty; 7)$. Этот промежуток в точности совпадает с промежутком, указанным в условии задачи.

Следовательно, искомой функцией является функция, записанная под номером 4.

Ответ: 4

2. Как надо параллельно перенести график функции $y = \frac{11}{x}$, чтобы получить график функции $y = \frac{11}{x} - 7$?

1) на 7 единиц вверх

2) на 7 единиц вниз

3) на 7 единиц влево

4) на 7 единиц вправо

Чтобы определить, как нужно параллельно перенести график функции $y = \frac{11}{x}$ для получения графика функции $y = \frac{11}{x} - 7$, рассмотрим общее правило преобразования графиков.

Преобразование вида $y = f(x) + c$ представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = f(x)$ вдоль оси ординат (вертикальной оси $Oy$).

• Если $c > 0$, то график сдвигается на $c$ единиц вверх.
• Если $c < 0$, то график сдвигается на $|c|$ единиц вниз.

В данном случае, исходная функция — это $f(x) = \frac{11}{x}$. Новая функция имеет вид $y = \frac{11}{x} - 7$, что можно записать как $y = f(x) - 7$.

Здесь мы видим, что $c = -7$. Поскольку $c$ — отрицательное число, это означает, что график исходной функции нужно перенести на $|-7| = 7$ единиц вниз.

Следовательно, правильный вариант ответа — на 7 единиц вниз.

Ответ: 2) на 7 единиц вниз.

3. График функции $y = \sqrt{x}$ параллельно перенесли на 3 единицы вправо и на 4 единицы вверх. График какой функции получили?

1) $y = \sqrt{x+3}+4$

2) $y = \sqrt{x+3}-4$

3) $y = \sqrt{x-3}+4$

4) $y = \sqrt{x-3}-4$

Для нахождения уравнения функции после параллельного переноса графика используются стандартные правила преобразования. Если график функции $y = f(x)$ переносится на $a$ единиц по горизонтали и на $b$ единиц по вертикали, то уравнение новой функции будет $y = f(x - a) + b$.

В данной задаче исходная функция — это $y = \sqrt{x}$.

1. Перенос на 3 единицы вправо. Это горизонтальный сдвиг. Согласно правилу, сдвиг вправо на $a$ единиц соответствует вычитанию $a$ из аргумента функции. В нашем случае $a = 3$. Таким образом, аргумент $x$ заменяется на $(x - 3)$. Функция принимает вид: $y = \sqrt{x - 3}$.

2. Перенос на 4 единицы вверх. Это вертикальный сдвиг. Согласно правилу, сдвиг вверх на $b$ единиц соответствует прибавлению $b$ ко всей функции. В нашем случае $b = 4$. Таким образом, мы прибавляем 4 к полученной на предыдущем шаге функции: $y = \sqrt{x - 3} + 4$.

Итоговое уравнение функции после переноса графика на 3 единицы вправо и на 4 единицы вверх имеет вид $y = \sqrt{x - 3} + 4$.

Сравнивая полученное уравнение с предложенными вариантами, видим, что оно соответствует варианту 3).

Ответ: 3

4. На каком из рисунков изображён график функции

$y = -x^2 - 1?$

1) 2) 3) 4)

Графиком функции $y = -x^2 - 1$ является парабола. Для того чтобы определить, какой из рисунков соответствует этой функции, проанализируем её ключевые свойства.

1. Направление ветвей параболы
Функция задана в виде $y = ax^2 + bx + c$, где коэффициент $a = -1$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что графики, изображенные на рисунках 1 и 2, не подходят, так как их ветви направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы
Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ можно найти по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = -1$ и $b = 0$.
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
Теперь найдем ординату вершины, подставив значение $x_0 = 0$ в уравнение функции:
$y_0 = -(0)^2 - 1 = 0 - 1 = -1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(0, -1)$.

3. Выбор правильного графика
Теперь сравним полученные данные с оставшимися графиками (3 и 4):
- На рисунке 3 изображена парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, -1)$. Это полностью соответствует нашей функции.
- На рисунке 4 изображена парабола с ветвями, направленными вниз, но её вершина находится в точке $(0, 1)$.
Следовательно, правильный график изображён на рисунке под номером 3.

Ответ: 3