Номер 1, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Областью определения какой из данных функций является промежуток $(-\infty; 7)$?

1) $y = \sqrt{7 + x}$

2) $y = \sqrt{7 - x}$

3) $y = \frac{1}{\sqrt{7 + x}}$

4) $y = \frac{1}{\sqrt{7 - x}}$

Для того чтобы определить, у какой из предложенных функций область определения совпадает с промежутком $(-\infty; 7)$, необходимо найти область определения для каждой функции.

1) $y = \sqrt{7 + x}$

Область определения функции, содержащей квадратный корень, задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Запишем и решим неравенство:

$7 + x \ge 0$

$x \ge -7$

Таким образом, область определения этой функции – промежуток $[-7; +\infty)$. Этот промежуток не совпадает с $(-\infty; 7)$.

2) $y = \sqrt{7 - x}$

Аналогично предыдущему пункту, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Запишем и решим неравенство:

$7 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть:

$7 \ge x$, что равносильно $x \le 7$.

Область определения этой функции – промежуток $(-\infty; 7]$. Этот промежуток отличается от заданного $(-\infty; 7)$, так как включает в себя точку $x=7$.

3) $y = \frac{1}{\sqrt{7 + x}}$

В этом случае функция определена, когда выполняются два условия: подкоренное выражение неотрицательно, и знаменатель дроби не равен нулю. Поскольку корень находится в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго положительным.

Запишем и решим строгое неравенство:

$7 + x > 0$

$x > -7$

Область определения этой функции – промежуток $(-7; +\infty)$. Этот промежуток не совпадает с $(-\infty; 7)$.

4) $y = \frac{1}{\sqrt{7 - x}}$

Как и в предыдущем случае, подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным, чтобы функция была определена.

Запишем и решим строгое неравенство:

$7 - x > 0$

Перенесем $x$ в правую часть:

$7 > x$, что равносильно $x < 7$.

Область определения этой функции – промежуток $(-\infty; 7)$. Этот промежуток в точности совпадает с промежутком, указанным в условии задачи.

Следовательно, искомой функцией является функция, записанная под номером 4.

Ответ: 4