Страница 108 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

11. На рисунке 33 изображён график функции $y = ax^2$.

Найдите значение $a$.

Рис. 33

Дан график функции $y = ax^2$. Это парабола с вершиной в начале координат. Чтобы найти коэффициент $a$, необходимо взять координаты любой точки, принадлежащей графику (кроме вершины $(0, 0)$), и подставить их в уравнение функции.

На графике можно определить несколько точек с целочисленными координатами, через которые проходит парабола. Например, выберем точку с координатами $(2, 4)$.

Подставим значения $x = 2$ и $y = 4$ в уравнение $y = ax^2$:

$4 = a \cdot (2)^2$

$4 = a \cdot 4$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 4:

$a = \frac{4}{4}$

$a = 1$

Таким образом, функция, изображенная на графике, имеет вид $y = x^2$.

Ответ: 1

12. Чему равно наименьшее значение функции $y = 3x^2 - 6x + 7$ на промежутке $ [2; 3] $?

Данная функция $y = 3x^2 - 6x + 7$ является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 3, он положительный ($a=3>0$), поэтому ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение такая парабола принимает в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=3$ и $b=-6$.
$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Абсцисса вершины $x_0 = 1$ не принадлежит заданному промежутку $[2; 3]$. Так как вершина параболы находится левее этого промежутка ($1 < 2$), а ветви параболы направлены вверх, то на всем промежутке $[2; 3]$ функция монотонно возрастает.

Следовательно, наименьшее значение на отрезке $[2; 3]$ функция принимает в его левой границе, то есть в точке $x=2$.
Вычислим значение функции в этой точке:
$y_{наим} = y(2) = 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + 7 = 3 \cdot 4 - 12 + 7 = 12 - 12 + 7 = 7$.

Ответ: 7