Страница 101 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. На координатной прямой отмечено число $a$ (рис. 29). Укажите верное утверждение.

1) $a - 4 > 0$

2) $5 - a < 0$

3) $a - 3 < 0$

4) $3 - a < 0$

Рис. 29

Для того чтобы определить, какое из утверждений является верным, необходимо оценить значение числа a по его положению на координатной прямой, изображенной на рисунке 29.

На прямой отмечены точки 0 и 1, которые задают единичный отрезок. Число a совпадает с четвертым делением справа от точки 0. Следовательно, можно сделать вывод, что $a = 4$.

Теперь выполним проверку каждого из предложенных неравенств, подставив в них найденное значение $a = 4$.

1) $a - 4 > 0$

При подстановке $a=4$ получаем неравенство $4 - 4 > 0$, которое упрощается до $0 > 0$. Это утверждение является ложным.

2) $5 - a < 0$

При подстановке $a=4$ получаем неравенство $5 - 4 < 0$, которое упрощается до $1 < 0$. Это утверждение является ложным.

3) $a - 3 < 0$

При подстановке $a=4$ получаем неравенство $4 - 3 < 0$, которое упрощается до $1 < 0$. Это утверждение является ложным.

4) $3 - a < 0$

При подстановке $a=4$ получаем неравенство $3 - 4 < 0$, которое упрощается до $-1 < 0$. Это утверждение является истинным, так как отрицательное число всегда меньше нуля.

Таким образом, единственное верное утверждение предложено под номером 4.

Ответ: 4

2. Какое из приведённых неравенств равносильно неравенству $\sqrt{x} \le 0$?

1) $|x| \le 0$

2) $x \le 0$

3) $x > 0$

4) $\frac{1}{\sqrt{x}} \le 0$

Чтобы определить, какое из приведённых неравенств равносильно неравенству $\sqrt{x} \le 0$, необходимо сначала решить исходное неравенство, а затем сравнить его множество решений с множествами решений каждого из предложенных вариантов.

Решение исходного неравенства $\sqrt{x} \le 0$:

1. Область допустимых значений (ОДЗ) для квадратного корня определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

2. По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ всегда является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ.

3. Таким образом, неравенство $\sqrt{x} \le 0$ может выполняться только в том случае, когда $\sqrt{x}$ одновременно не больше нуля и не меньше нуля. Это возможно, только если $\sqrt{x} = 0$.

4. Решая уравнение $\sqrt{x} = 0$, получаем $x = 0$.

Итак, исходное неравенство имеет единственное решение: $x = 0$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

Модуль (абсолютная величина) любого действительного числа $|x|$ по определению неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$. Следовательно, неравенство $|x| \le 0$ выполняется только тогда, когда $|x| = 0$. Это уравнение имеет единственное решение $x = 0$. Множество решений этого неравенства $\{0\}$ совпадает с множеством решений исходного неравенства. Значит, это неравенство равносильно исходному.

Решением этого неравенства является множество всех чисел, которые меньше или равны нулю, то есть числовой промежуток $(-\infty, 0]$. Это множество содержит не только $x=0$, но и все отрицательные числа. Следовательно, это неравенство не равносильно исходному.

Решением этого неравенства является множество всех положительных чисел, то есть числовой промежуток $(0, \infty)$. Это множество не содержит $x=0$. Следовательно, это неравенство не равносильно исходному.

ОДЗ для этого неравенства: $x > 0$, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), а знаменатель не может быть равен нулю ($\sqrt{x} \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$). Для любого $x > 0$ значение $\sqrt{x}$ будет положительным. Дробь, у которой числитель $1$ (положительное число) и знаменатель $\sqrt{x}$ (положительное число), всегда будет положительной. Таким образом, неравенство $\frac{1}{\sqrt{x}} \le 0$ не имеет решений. Его множество решений — пустое множество ($\emptyset$).

Сравнив решения, мы видим, что только неравенство $|x| \le 0$ имеет то же самое единственное решение $x=0$, что и исходное неравенство $\sqrt{x} \le 0$.

Ответ: 1

3. Множеством решений какого неравенства является промежуток $(6; +\infty)$?

1) $x < 6$

2) $x \le 6$

3) $x > 6$

4) $x \ge 6$

Заданный промежуток $(6; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел, которые строго больше 6.

Разберем, как этот промежуток соотносится с неравенствами:

• Круглая скобка `(` у числа 6 означает, что само число 6 не входит в множество решений. Это соответствует знаку строгого неравенства ($>$ или $<$).
• Знак $+\infty$ (плюс бесконечность) показывает, что промежуток не ограничен справа, то есть включает все числа, большие 6.

Таким образом, запись $(6; +\infty)$ эквивалентна строгому неравенству $x > 6$.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов:

1) $x < 6$
Это неравенство описывает все числа, которые меньше 6. Множество его решений — промежуток $(-\infty; 6)$. Этот вариант не подходит.

2) $x \le 6$
Это неравенство описывает все числа, которые меньше или равны 6. Множество его решений — промежуток $(-\infty; 6]$. Этот вариант не подходит.

3) $x > 6$
Это неравенство описывает все числа, которые строго больше 6. Множество его решений — промежуток $(6; +\infty)$. Этот вариант полностью соответствует условию задачи.

4) $x \ge 6$
Это неравенство описывает все числа, которые больше или равны 6. Множество его решений — промежуток $[6; +\infty)$. Этот вариант не подходит, так как включает число 6, а в заданном промежутке оно не включено.

Следовательно, промежуток $(6; +\infty)$ является множеством решений неравенства $x > 6$.

Ответ: 3

4. Какая из данных систем неравенств не имеет решений?

1) $\begin{cases} x \le -7, \\ x < 2 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x \ge -7, \\ x > 2 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x \le -7, \\ x > 2 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x \ge -7, \\ x < 2 \end{cases}$

Для того чтобы определить, какая из систем неравенств не имеет решений, необходимо проанализировать каждую систему. Решением системы неравенств является пересечение множеств решений каждого неравенства, входящего в систему. Если пересечение этих множеств пусто, то система не имеет решений.

1) $\begin{cases} x \le -7, \\ x < 2 \end{cases}$

Первое неравенство $x \le -7$ означает, что $x$ принадлежит промежутку $(-\infty, -7]$. Второе неравенство $x < 2$ означает, что $x$ принадлежит промежутку $(-\infty, 2)$. Пересечением этих двух промежутков является промежуток $(-\infty, -7]$. Поскольку множество решений непустое, система имеет решения.

Ответ: система имеет решения.

2) $\begin{cases} x \ge -7, \\ x > 2 \end{cases}$

Первое неравенство $x \ge -7$ означает, что $x$ принадлежит промежутку $[-7, +\infty)$. Второе неравенство $x > 2$ означает, что $x$ принадлежит промежутку $(2, +\infty)$. Пересечением этих двух промежутков является промежуток $(2, +\infty)$. Поскольку множество решений непустое, система имеет решения.

Ответ: система имеет решения.

3) $\begin{cases} x \le -7, \\ x > 2 \end{cases}$

Первое неравенство $x \le -7$ означает, что $x$ принадлежит промежутку $(-\infty, -7]$. Второе неравенство $x > 2$ означает, что $x$ принадлежит промежутку $(2, +\infty)$. Не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно меньше или равно $-7$ и больше $2$. Следовательно, пересечение этих двух промежутков является пустым множеством ($\emptyset$).

Ответ: система не имеет решений.

4) $\begin{cases} x \ge -7, \\ x < 2 \end{cases}$

Первое неравенство $x \ge -7$ означает, что $x$ принадлежит промежутку $[-7, +\infty)$. Второе неравенство $x < 2$ означает, что $x$ принадлежит промежутку $(-\infty, 2)$. Пересечением этих двух промежутков является промежуток $[-7, 2)$. Поскольку множество решений непустое, система имеет решения.

Ответ: система имеет решения.

5. Укажите рисунок, на котором изображено множество решений системы неравенств

$$\begin{cases} 2 - 7x > 16, \\ 8x + 35 \le 3. \end{cases}$$

1) числовая прямая с закрашенной точкой на -4 и выколотой точкой на -2, заштрихован интервал между -4 и -2.

2) числовая прямая с закрашенной точкой на -4, заштрихован интервал слева от -4.

3) числовая прямая с закрашенной точкой на -4, заштрихован интервал справа от -4.

4) числовая прямая с выколотой точкой на -2, заштрихован интервал слева от -2.

Для того чтобы найти множество решений системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности и затем найти пересечение (общую часть) полученных решений.

Система неравенств:

$\begin{cases} 2 - 7x > 16, \\ 8x + 35 \le 3. \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$2 - 7x > 16$

Перенесем 2 из левой части в правую, изменив знак:

$-7x > 16 - 2$

$-7x > 14$

Разделим обе части неравенства на -7. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{14}{-7}$

$x < -2$

Решением первого неравенства является интервал $(-\infty; -2)$. На числовой прямой это соответствует области слева от точки -2, причем сама точка -2 не включается (обозначается выколотой точкой).

2. Решим второе неравенство:

$8x + 35 \le 3$

Перенесем 35 из левой части в правую, изменив знак:

$8x \le 3 - 35$

$8x \le -32$

Разделим обе части неравенства на 8. Так как 8 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x \le \frac{-32}{8}$

$x \le -4$

Решением второго неравенства является числовой луч $(-\infty; -4]$. На числовой прямой это соответствует области слева от точки -4, включая саму точку -4 (обозначается закрашенной точкой).

3. Найдем пересечение решений.

Мы получили два условия: $x < -2$ и $x \le -4$. Решением системы будет множество чисел, которые удовлетворяют обоим этим условиям одновременно. Если число меньше или равно -4, то оно автоматически меньше -2. Таким образом, пересечением этих двух множеств является множество $x \le -4$.

На числовой прямой это изображается в виде луча, который начинается в точке -4 (точка закрашена, так как неравенство нестрогое) и уходит влево в бесконечность.

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что ему соответствует рисунок под номером 2.

Ответ: 2