Номер 2, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Какое из приведённых неравенств равносильно неравенству $\sqrt{x} \le 0$?

1) $|x| \le 0$

2) $x \le 0$

3) $x > 0$

4) $\frac{1}{\sqrt{x}} \le 0$

Чтобы определить, какое из приведённых неравенств равносильно неравенству $\sqrt{x} \le 0$, необходимо сначала решить исходное неравенство, а затем сравнить его множество решений с множествами решений каждого из предложенных вариантов.

Решение исходного неравенства $\sqrt{x} \le 0$:

1. Область допустимых значений (ОДЗ) для квадратного корня определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

2. По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ всегда является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ.

3. Таким образом, неравенство $\sqrt{x} \le 0$ может выполняться только в том случае, когда $\sqrt{x}$ одновременно не больше нуля и не меньше нуля. Это возможно, только если $\sqrt{x} = 0$.

4. Решая уравнение $\sqrt{x} = 0$, получаем $x = 0$.

Итак, исходное неравенство имеет единственное решение: $x = 0$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

Модуль (абсолютная величина) любого действительного числа $|x|$ по определению неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$. Следовательно, неравенство $|x| \le 0$ выполняется только тогда, когда $|x| = 0$. Это уравнение имеет единственное решение $x = 0$. Множество решений этого неравенства $\{0\}$ совпадает с множеством решений исходного неравенства. Значит, это неравенство равносильно исходному.

Решением этого неравенства является множество всех чисел, которые меньше или равны нулю, то есть числовой промежуток $(-\infty, 0]$. Это множество содержит не только $x=0$, но и все отрицательные числа. Следовательно, это неравенство не равносильно исходному.

Решением этого неравенства является множество всех положительных чисел, то есть числовой промежуток $(0, \infty)$. Это множество не содержит $x=0$. Следовательно, это неравенство не равносильно исходному.

ОДЗ для этого неравенства: $x > 0$, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), а знаменатель не может быть равен нулю ($\sqrt{x} \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$). Для любого $x > 0$ значение $\sqrt{x}$ будет положительным. Дробь, у которой числитель $1$ (положительное число) и знаменатель $\sqrt{x}$ (положительное число), всегда будет положительной. Таким образом, неравенство $\frac{1}{\sqrt{x}} \le 0$ не имеет решений. Его множество решений — пустое множество ($\emptyset$).

Сравнив решения, мы видим, что только неравенство $|x| \le 0$ имеет то же самое единственное решение $x=0$, что и исходное неравенство $\sqrt{x} \le 0$.

Ответ: 1