Страница 99 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. На координатной прямой отмечено число $a$ (рис. 28).

Укажите верное утверждение.

1) $a - 2 < 0$

2) $2 - a < 0$

3) $a - 3 > 0$

4) $a - 4 > 0$

Рис. 28

На координатной прямой отмечены числа, задающие масштаб: 0 и 1. Расстояние между ними — единичный отрезок. Следующие деления соответствуют целым числам 2, 3, 4 и так далее. Точка, обозначенная буквой $a$, совпадает с делением, соответствующим числу 3. Таким образом, $a = 3$.

Проверим каждое из предложенных утверждений, подставив в них значение $a = 3$.

1) $a - 2 < 0$

Подставляем $a=3$ в неравенство: $3 - 2 < 0$, что приводит к $1 < 0$. Это утверждение неверно.

2) $2 - a < 0$

Подставляем $a=3$ в неравенство: $2 - 3 < 0$, что приводит к $-1 < 0$. Это утверждение верно.

3) $a - 3 > 0$

Подставляем $a=3$ в неравенство: $3 - 3 > 0$, что приводит к $0 > 0$. Это утверждение неверно (так как 0 равно 0, а не больше).

4) $a - 4 > 0$

Подставляем $a=3$ в неравенство: $3 - 4 > 0$, что приводит к $-1 > 0$. Это утверждение неверно.

Таким образом, единственным верным утверждением является второе.

Ответ: 2

2. Какое из приведённых неравенств равносильно неравенству $|x| < 0$?

1) $\frac{1}{x} < 0$

2) $\sqrt{x} < 0$

3) $|x| < 1$

4) $|x| \le 0$

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Найдем множество решений для исходного неравенства $|x| < 0$.

По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, неравенство $|x| < 0$ (модуль числа строго меньше нуля) не имеет решений. Множество его решений — пустое множество ($\emptyset$).

Теперь проанализируем каждое из предложенных неравенств, чтобы найти то, у которого множество решений также является пустым.

1) $\frac{1}{x} < 0$
Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как числитель $1 > 0$, то знаменатель должен быть отрицательным: $x < 0$. Множество решений этого неравенства — интервал $(-\infty; 0)$. Это не пустое множество.
Ответ: не равносильно.

2) $\sqrt{x} < 0$
Арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ определен для $x \ge 0$. По определению, значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Следовательно, неравенство $\sqrt{x} < 0$ не имеет решений. Множество его решений — пустое множество ($\emptyset$).
Ответ: равносильно.

3) $|x| < 1$
Это неравенство равносильно двойному неравенству $-1 < x < 1$. Множество решений — интервал $(-1; 1)$. Это не пустое множество.
Ответ: не равносильно.

4) $|x| \le 0$
Так как $|x| \ge 0$ для всех $x$, данное неравенство может выполняться только в одном случае: когда $|x| = 0$. Это уравнение имеет единственное решение: $x = 0$. Множество решений состоит из одного числа $\{0\}$. Это не пустое множество.
Ответ: не равносильно.

Таким образом, единственное неравенство, которое, как и исходное, не имеет решений, — это неравенство под номером 2.

Ответ: 2

3. Множеством решений какого неравенства является промежуток $[-5; +\infty)$?

1) $x > -5$

2) $x \ge -5$

3) $x < -5$

4) $x \le -5$

Проанализируем заданный промежуток $[-5; +∞)$.

Квадратная скобка `[` у числа $-5$ означает, что это число включено в множество решений. Это соответствует нестрогому знаку неравенства ($≥$ или $≤$).

Символ $+∞$ (плюс бесконечность) означает, что промежуток включает все значения, которые больше $-5$. Это соответствует знаку "больше" ($>$ или $≥$).

Объединяя оба условия, мы получаем неравенство: $x$ больше или равен $-5$, что записывается как $x ≥ -5$.

Теперь сравним полученное неравенство с предложенными вариантами:

1) $x > -5$

Это неравенство соответствует промежутку $(-5; +∞)$. Оно является строгим, поэтому число $-5$ не входит в множество решений.

2) $x ≥ -5$

Это неравенство соответствует промежутку $[-5; +∞)$. Оно является нестрогим и включает все числа, большие или равные $-5$. Этот вариант полностью совпадает с условием.

3) $x < -5$

Это неравенство соответствует промежутку $(-∞; -5)$. Оно описывает числа, которые меньше $-5$.

4) $x ≤ -5$

Это неравенство соответствует промежутку $(-∞; -5]$. Оно описывает числа, которые меньше или равны $-5$.

Таким образом, правильным является вариант 2.

Ответ: 2

4. Какая из данных систем неравенств не имеет решений?

1) $\begin{cases} x < 4, \\ x > -2 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x < 4, \\ x < -2 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x > 4, \\ x > -2 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x > 4, \\ x < -2 \end{cases}$

Чтобы определить, какая из систем не имеет решений, необходимо для каждой системы найти пересечение множеств решений составляющих её неравенств. Если пересечение множеств пусто, то система не имеет решений.

1) $\begin{cases} x < 4, \\ x > -2 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x < 4$ является интервал $(-\infty; 4)$.

Решением второго неравенства $x > -2$ является интервал $(-2; +\infty)$.

Решением системы является пересечение этих двух интервалов: $x \in (-2; 4)$. Поскольку это непустое множество (например, ему принадлежит число $x=0$), система имеет решения.

Ответ: система имеет решения.

2) $\begin{cases} x < 4, \\ x < -2 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x < 4$ является интервал $(-\infty; 4)$.

Решением второго неравенства $x < -2$ является интервал $(-\infty; -2)$.

Решением системы является пересечение этих интервалов. Если число меньше $-2$, то оно автоматически меньше $4$. Поэтому пересечением будет интервал $(-\infty; -2)$. Система имеет решения.

Ответ: система имеет решения.

3) $\begin{cases} x > 4, \\ x > -2 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x > 4$ является интервал $(4; +\infty)$.

Решением второго неравенства $x > -2$ является интервал $(-2; +\infty)$.

Решением системы является пересечение этих интервалов. Если число больше $4$, то оно автоматически больше $-2$. Поэтому пересечением будет интервал $(4; +\infty)$. Система имеет решения.

Ответ: система имеет решения.

4) $\begin{cases} x > 4, \\ x < -2 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x > 4$ является интервал $(4; +\infty)$.

Решением второго неравенства $x < -2$ является интервал $(-\infty; -2)$.

Решением системы является пересечение этих интервалов: $(4; +\infty) \cap (-\infty; -2)$. Не существует числа, которое было бы одновременно больше $4$ и меньше $-2$. Эти два интервала не пересекаются на числовой оси, их пересечение — пустое множество ($\emptyset$).

Ответ: система не имеет решений.

5. Укажите рисунок, на котором изображено множество решений системы неравенств

1) -2

2) -2 3

3) 3

4) -2

Для того чтобы найти множество решений системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности и затем найти пересечение полученных решений.

Решим первое неравенство:

$1 - 6x < 13$

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$-6x < 13 - 1$

$-6x < 12$

Разделим обе части на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{12}{-6}$

$x > -2$

Решением первого неравенства является числовой промежуток $(-2; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$3x + 1 \le 10$

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$3x \le 10 - 1$

$3x \le 9$

Разделим обе части на 3 (знак неравенства не меняется):

$x \le \frac{9}{3}$

$x \le 3$

Решением второго неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 3]$.

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств, то есть все значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x > -2$ и $x \le 3$.

Это соответствует числовому промежутку $(-2; 3]$.

На числовой оси этот промежуток изображается как интервал между точками -2 и 3, причём точка -2 не включается в интервал (изображается выколотой, или пустой, точкой), а точка 3 включается (изображается закрашенной, или сплошной, точкой).

Среди предложенных вариантов этому описанию соответствует рисунок под номером 2.

Ответ: 2