Номер 2, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Какое из приведённых неравенств равносильно неравенству $|x| < 0$?

1) $\frac{1}{x} < 0$

2) $\sqrt{x} < 0$

3) $|x| < 1$

4) $|x| \le 0$

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Найдем множество решений для исходного неравенства $|x| < 0$.

По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, неравенство $|x| < 0$ (модуль числа строго меньше нуля) не имеет решений. Множество его решений — пустое множество ($\emptyset$).

Теперь проанализируем каждое из предложенных неравенств, чтобы найти то, у которого множество решений также является пустым.

1) $\frac{1}{x} < 0$
Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как числитель $1 > 0$, то знаменатель должен быть отрицательным: $x < 0$. Множество решений этого неравенства — интервал $(-\infty; 0)$. Это не пустое множество.
Ответ: не равносильно.

2) $\sqrt{x} < 0$
Арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ определен для $x \ge 0$. По определению, значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Следовательно, неравенство $\sqrt{x} < 0$ не имеет решений. Множество его решений — пустое множество ($\emptyset$).
Ответ: равносильно.

3) $|x| < 1$
Это неравенство равносильно двойному неравенству $-1 < x < 1$. Множество решений — интервал $(-1; 1)$. Это не пустое множество.
Ответ: не равносильно.

4) $|x| \le 0$
Так как $|x| \ge 0$ для всех $x$, данное неравенство может выполняться только в одном случае: когда $|x| = 0$. Это уравнение имеет единственное решение: $x = 0$. Множество решений состоит из одного числа $\{0\}$. Это не пустое множество.
Ответ: не равносильно.

Таким образом, единственное неравенство, которое, как и исходное, не имеет решений, — это неравенство под номером 2.

Ответ: 2