Номер 4, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Какая из данных систем неравенств не имеет решений?

1) $\begin{cases} x < 4, \\ x > -2 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x < 4, \\ x < -2 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x > 4, \\ x > -2 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x > 4, \\ x < -2 \end{cases}$

Чтобы определить, какая из систем не имеет решений, необходимо для каждой системы найти пересечение множеств решений составляющих её неравенств. Если пересечение множеств пусто, то система не имеет решений.

1) $\begin{cases} x < 4, \\ x > -2 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x < 4$ является интервал $(-\infty; 4)$.

Решением второго неравенства $x > -2$ является интервал $(-2; +\infty)$.

Решением системы является пересечение этих двух интервалов: $x \in (-2; 4)$. Поскольку это непустое множество (например, ему принадлежит число $x=0$), система имеет решения.

Ответ: система имеет решения.

2) $\begin{cases} x < 4, \\ x < -2 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x < 4$ является интервал $(-\infty; 4)$.

Решением второго неравенства $x < -2$ является интервал $(-\infty; -2)$.

Решением системы является пересечение этих интервалов. Если число меньше $-2$, то оно автоматически меньше $4$. Поэтому пересечением будет интервал $(-\infty; -2)$. Система имеет решения.

Ответ: система имеет решения.

3) $\begin{cases} x > 4, \\ x > -2 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x > 4$ является интервал $(4; +\infty)$.

Решением второго неравенства $x > -2$ является интервал $(-2; +\infty)$.

Решением системы является пересечение этих интервалов. Если число больше $4$, то оно автоматически больше $-2$. Поэтому пересечением будет интервал $(4; +\infty)$. Система имеет решения.

Ответ: система имеет решения.

4) $\begin{cases} x > 4, \\ x < -2 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x > 4$ является интервал $(4; +\infty)$.

Решением второго неравенства $x < -2$ является интервал $(-\infty; -2)$.

Решением системы является пересечение этих интервалов: $(4; +\infty) \cap (-\infty; -2)$. Не существует числа, которое было бы одновременно больше $4$ и меньше $-2$. Эти два интервала не пересекаются на числовой оси, их пересечение — пустое множество ($\emptyset$).

Ответ: система не имеет решений.