Страница 95 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равна сумма шести первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 32$, а знаменатель прогрессии равен $-\frac{1}{2}$?

1) $\frac{63}{4}$

2) 21

3) $\frac{189}{4}$

4) 42

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) используется формула:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

где $b_1$ – первый член прогрессии, $q$ – знаменатель прогрессии, $n$ – количество членов.

По условию задачи нам даны:

• Первый член прогрессии: $b_1 = 32$
• Знаменатель прогрессии: $q = -\frac{1}{2}$
• Количество членов для суммирования: $n = 6$

Подставим эти значения в формулу:

$S_6 = \frac{32 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^6)}{1 - (-\frac{1}{2})}$

Сначала вычислим степень знаменателя:

$(-\frac{1}{2})^6 = \frac{(-1)^6}{2^6} = \frac{1}{64}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$S_6 = \frac{32 \cdot (1 - \frac{1}{64})}{1 + \frac{1}{2}}$

Вычислим числитель и знаменатель дроби отдельно.

Выражение в скобках в числителе:

$1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$

Весь числитель:

$32 \cdot \frac{63}{64} = \frac{32 \cdot 63}{64} = \frac{63}{2}$

Знаменатель:

$1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь найдем итоговое значение суммы, разделив числитель на знаменатель:

$S_6 = \frac{\frac{63}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{63}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{63}{3} = 21$

Проверка:

Можно найти все шесть членов и сложить их.

$b_1 = 32$

$b_2 = 32 \cdot (-\frac{1}{2}) = -16$

$b_3 = -16 \cdot (-\frac{1}{2}) = 8$

$b_4 = 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = -4$

$b_5 = -4 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2$

$b_6 = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$

Сумма: $S_6 = 32 + (-16) + 8 + (-4) + 2 + (-1) = 32 - 16 + 8 - 4 + 2 - 1 = 16 + 4 + 1 = 21$

Ответ: 21

2. Чему равна сумма бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 90$, а знаменатель прогрессии равен $-\frac{1}{9}$?

1) 80

2) 100

3) 81

4) 101,25

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии используется формула:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

где $S$ — сумма прогрессии, $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — знаменатель прогрессии. Эта формула применима только при условии, что модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В данной задаче известны следующие значения:

• Первый член прогрессии: $b_1 = 90$
• Знаменатель прогрессии: $q = -\frac{1}{9}$

Сначала необходимо проверить, выполняется ли условие сходимости прогрессии:

$|q| = |-\frac{1}{9}| = \frac{1}{9}$

Так как $\frac{1}{9} < 1$, условие выполняется, и мы можем применить формулу для нахождения суммы.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{90}{1 - (-\frac{1}{9})}$

Теперь выполним вычисления. Сначала упростим выражение в знаменателе:

$1 - (-\frac{1}{9}) = 1 + \frac{1}{9} = \frac{9}{9} + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}$

Далее вычислим саму сумму:

$S = \frac{90}{\frac{10}{9}}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:

$S = 90 \cdot \frac{9}{10} = \frac{90 \cdot 9}{10} = 9 \cdot 9 = 81$

Ответ: 81

3. Геометрическая прогрессия $(b_n)$

задана формулой $n$-го члена $b_n = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}$. Найдите сумму четырёх первых членов прогрессии.

Данная геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана формулой n-го члена: $b_n = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}$

Требуется найти сумму первых четырех членов прогрессии, то есть $S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4$. Рассмотрим два способа решения этой задачи.

Найдем первые четыре члена прогрессии, подставляя в формулу значения $n=1, 2, 3, 4$.

1. Первый член ($n=1$):
$b_1 = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{1-1} = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^0 = 150 \cdot 1 = 150$.

2. Второй член ($n=2$):
$b_2 = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{2-1} = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^1 = -\frac{150}{5} = -30$.

3. Третий член ($n=3$):
$b_3 = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{3-1} = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^2 = 150 \cdot \frac{1}{25} = 6$.

4. Четвертый член ($n=4$):
$b_4 = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{4-1} = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^3 = 150 \cdot \left(-\frac{1}{125}\right) = -\frac{150}{125} = -\frac{6 \cdot 25}{5 \cdot 25} = -\frac{6}{5} = -1.2$.

5. Теперь найдем сумму этих четырех членов: $S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 150 + (-30) + 6 + (-1.2) = 120 + 6 - 1.2 = 126 - 1.2 = 124.8$.

Общая формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Сравнивая эту формулу с заданной $b_n = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}$, определяем параметры прогрессии:

• Первый член $b_1 = 150$.
• Знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{5}$.

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Подставим наши значения, чтобы найти сумму первых четырех членов ($n=4$): $S_4 = \frac{150 \cdot (1 - (-\frac{1}{5})^4)}{1 - (-\frac{1}{5})}$

Выполним вычисления по шагам:

1. $q^4 = \left(-\frac{1}{5}\right)^4 = \frac{1}{625}$
2. $1 - q^4 = 1 - \frac{1}{625} = \frac{624}{625}$
3. $1 - q = 1 - \left(-\frac{1}{5}\right) = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$

Теперь подставим вычисленные значения обратно в формулу суммы: $S_4 = \frac{150 \cdot \frac{624}{625}}{\frac{6}{5}} = 150 \cdot \frac{624}{625} \cdot \frac{5}{6}$

Сократим полученное выражение: $S_4 = \frac{150 \cdot 624 \cdot 5}{625 \cdot 6} = \frac{150}{6} \cdot \frac{5}{625} \cdot 624 = 25 \cdot \frac{1}{125} \cdot 624 = \frac{25 \cdot 624}{125} = \frac{624}{5}$

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $S_4 = \frac{624}{5} = \frac{624 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{1248}{10} = 124.8$

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 124.8

4. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь 2,1666...

Для того чтобы представить бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби, выполним следующие шаги.

1. Обозначим исходное число переменной $x$:

$x = 2,1666...$

Это смешанная периодическая дробь, где целая часть равна 2, одна цифра после запятой не входит в период (1), а период состоит из одной цифры (6). Записать это можно как $2,1(6)$.

2. Умножим наше уравнение на 10, чтобы после запятой сразу начинался период.

$10x = 21,666...$

3. Теперь умножим уравнение $10x = 21,666...$ еще на 10 (то есть исходное на 100), чтобы сдвинуть запятую вправо на одну цифру периода.

$100x = 216,666...$

4. Вычтем из второго полученного уравнения первое. Это позволит нам избавиться от бесконечной дробной части.

$100x - 10x = 216,666... - 21,666...$

$90x = 195$

5. Решим полученное уравнение относительно $x$:

$x = \frac{195}{90}$

6. Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 5:

$x = \frac{195 \div 5}{90 \div 5} = \frac{39}{18}$

Затем числитель и знаменатель можно сократить на 3:

$x = \frac{39 \div 3}{18 \div 3} = \frac{13}{6}$

Это и есть искомая несократимая обыкновенная дробь. Можно также записать ее в виде смешанного числа: $2\frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{13}{6}$

5. Второй член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $q$, где $\vert q \vert < 1$, равен 9, а сумма прогрессии равна 48. Найдите знаменатель прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию задачи, второй член прогрессии $b_2$ равен 9, а сумма прогрессии $S$ равна 48. Известно, что $|q| < 1$.
Используем формулу для n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ и формулу для суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$.
На основе этих формул и данных задачи составим систему уравнений:

$\begin{cases} b_2 = b_1 \cdot q = 9 \\ S = \frac{b_1}{1-q} = 48 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b_1$ через $q$:
$b_1 = \frac{9}{q}$
Подставим это выражение для $b_1$ во второе уравнение системы:
$\frac{\frac{9}{q}}{1-q} = 48$
Упростим полученное выражение:
$\frac{9}{q(1-q)} = 48$
$9 = 48q(1-q)$
$9 = 48q - 48q^2$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$48q^2 - 48q + 9 = 0$
Для удобства решения разделим все члены уравнения на 3:
$16q^2 - 16q + 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 3 = 256 - 192 = 64$
Поскольку дискриминант больше нуля, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:
$q_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - \sqrt{64}}{2 \cdot 16} = \frac{16 - 8}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$
$q_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + \sqrt{64}}{2 \cdot 16} = \frac{16 + 8}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$
Оба найденных значения удовлетворяют условию $|q|<1$, так как $|\frac{1}{4}| < 1$ и $|\frac{3}{4}| < 1$. Таким образом, существуют две геометрические прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи, и, следовательно, два возможных значения для знаменателя.
Ответ: $\frac{1}{4}$ или $\frac{3}{4}$.