Номер 5, страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Второй член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $q$, где $\vert q \vert < 1$, равен 9, а сумма прогрессии равна 48. Найдите знаменатель прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию задачи, второй член прогрессии $b_2$ равен 9, а сумма прогрессии $S$ равна 48. Известно, что $|q| < 1$.
Используем формулу для n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ и формулу для суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$.
На основе этих формул и данных задачи составим систему уравнений:

$\begin{cases} b_2 = b_1 \cdot q = 9 \\ S = \frac{b_1}{1-q} = 48 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b_1$ через $q$:
$b_1 = \frac{9}{q}$
Подставим это выражение для $b_1$ во второе уравнение системы:
$\frac{\frac{9}{q}}{1-q} = 48$
Упростим полученное выражение:
$\frac{9}{q(1-q)} = 48$
$9 = 48q(1-q)$
$9 = 48q - 48q^2$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$48q^2 - 48q + 9 = 0$
Для удобства решения разделим все члены уравнения на 3:
$16q^2 - 16q + 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 3 = 256 - 192 = 64$
Поскольку дискриминант больше нуля, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:
$q_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - \sqrt{64}}{2 \cdot 16} = \frac{16 - 8}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$
$q_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + \sqrt{64}}{2 \cdot 16} = \frac{16 + 8}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$
Оба найденных значения удовлетворяют условию $|q|<1$, так как $|\frac{1}{4}| < 1$ и $|\frac{3}{4}| < 1$. Таким образом, существуют две геометрические прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи, и, следовательно, два возможных значения для знаменателя.
Ответ: $\frac{1}{4}$ или $\frac{3}{4}$.