Номер 2, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Какое из приведённых неравенств равносильно неравенству $x^2 \ge 0$?

1) $\sqrt{x} \ge 0$

2) $|x| \ge -3$

3) $x \ge 0$

4) $x^2 \ge 1$

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Сначала определим множество решений для исходного неравенства $x^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом. Следовательно, неравенство $x^2 \ge 0$ выполняется для любого действительного числа $x$. Множество решений этого неравенства — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

Теперь проанализируем каждое из предложенных неравенств, чтобы найти то, у которого множество решений также является $(-\infty, +\infty)$.

1) $\sqrt{x} \ge 0$

Область определения функции квадратного корня — это все неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$. Для всех $x$ из этой области определения, значение $\sqrt{x}$ также является неотрицательным, поэтому неравенство $\sqrt{x} \ge 0$ выполняется для всех $x \ge 0$. Множество решений — $x \in [0, +\infty)$. Это множество не совпадает с множеством всех действительных чисел.

2) $|x| \ge -3$

Модуль любого действительного числа $|x|$ по определению является неотрицательным числом, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x$. Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, в данном случае -3. Следовательно, неравенство $|x| \ge -3$ выполняется для любого действительного числа $x$. Множество решений — $x \in (-\infty, +\infty)$. Это множество совпадает с множеством решений исходного неравенства, значит, эти неравенства равносильны.

3) $x \ge 0$

Множество решений этого неравенства — это все неотрицательные числа, то есть $x \in [0, +\infty)$. Это множество не совпадает с множеством всех действительных чисел.

4) $x^2 \ge 1$

Решением этого неравенства являются числа, модуль которых не меньше 1. Это можно записать как совокупность двух неравенств: $x \ge 1$ или $x \le -1$. Множество решений — $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$. Это множество не совпадает с множеством всех действительных чисел.

Таким образом, единственное неравенство, равносильное исходному неравенству $x^2 \ge 0$, это $|x| \ge -3$.

Ответ: 2