Номер 3, страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Геометрическая прогрессия $(b_n)$

задана формулой $n$-го члена $b_n = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}$. Найдите сумму четырёх первых членов прогрессии.

Данная геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана формулой n-го члена: $b_n = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}$

Требуется найти сумму первых четырех членов прогрессии, то есть $S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4$. Рассмотрим два способа решения этой задачи.

Найдем первые четыре члена прогрессии, подставляя в формулу значения $n=1, 2, 3, 4$.

1. Первый член ($n=1$):
$b_1 = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{1-1} = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^0 = 150 \cdot 1 = 150$.

2. Второй член ($n=2$):
$b_2 = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{2-1} = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^1 = -\frac{150}{5} = -30$.

3. Третий член ($n=3$):
$b_3 = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{3-1} = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^2 = 150 \cdot \frac{1}{25} = 6$.

4. Четвертый член ($n=4$):
$b_4 = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{4-1} = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^3 = 150 \cdot \left(-\frac{1}{125}\right) = -\frac{150}{125} = -\frac{6 \cdot 25}{5 \cdot 25} = -\frac{6}{5} = -1.2$.

5. Теперь найдем сумму этих четырех членов: $S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 150 + (-30) + 6 + (-1.2) = 120 + 6 - 1.2 = 126 - 1.2 = 124.8$.

Общая формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Сравнивая эту формулу с заданной $b_n = 150 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}$, определяем параметры прогрессии:

• Первый член $b_1 = 150$.
• Знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{5}$.

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Подставим наши значения, чтобы найти сумму первых четырех членов ($n=4$): $S_4 = \frac{150 \cdot (1 - (-\frac{1}{5})^4)}{1 - (-\frac{1}{5})}$

Выполним вычисления по шагам:

1. $q^4 = \left(-\frac{1}{5}\right)^4 = \frac{1}{625}$
2. $1 - q^4 = 1 - \frac{1}{625} = \frac{624}{625}$
3. $1 - q = 1 - \left(-\frac{1}{5}\right) = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$

Теперь подставим вычисленные значения обратно в формулу суммы: $S_4 = \frac{150 \cdot \frac{624}{625}}{\frac{6}{5}} = 150 \cdot \frac{624}{625} \cdot \frac{5}{6}$

Сократим полученное выражение: $S_4 = \frac{150 \cdot 624 \cdot 5}{625 \cdot 6} = \frac{150}{6} \cdot \frac{5}{625} \cdot 624 = 25 \cdot \frac{1}{125} \cdot 624 = \frac{25 \cdot 624}{125} = \frac{624}{5}$

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $S_4 = \frac{624}{5} = \frac{624 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{1248}{10} = 124.8$

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 124.8