Страница 94 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равна сумма пяти первых членов геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_1 = -4$, а знаменатель прогрессии равен 2?

1) -84 2) -60 3) -124 4) -62

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — количество суммируемых членов.

По условию задачи нам даны следующие значения:

• первый член прогрессии $b_1 = -4$;
• знаменатель прогрессии $q = 2$;
• количество членов для суммирования $n = 5$.

Подставим эти значения в формулу для суммы первых пяти членов ($S_5$):

$S_5 = \frac{-4(2^5 - 1)}{2 - 1}$

Теперь выполним вычисления по шагам:

1. Вычислим степень в скобках: $2^5 = 32$.

2. Выполним вычитание в числителе и знаменателе:

$S_5 = \frac{-4(32 - 1)}{1}$

$S_5 = \frac{-4(31)}{1}$

3. Выполним умножение в числителе:

$S_5 = -4 \times 31$

$S_5 = -124$

Таким образом, сумма пяти первых членов данной геометрической прогрессии равна -124.

Ответ: -124

2. Чему равна сумма бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 36$, а знаменатель прогрессии равен $\frac{1}{3}$?

1) 54

2) 24

3) 108

4) 36

2.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула применима при условии, что $|q| < 1$.

Из условия задачи нам даны:

• Первый член прогрессии $b_1 = 36$.
• Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{3}$.

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$:

$|q| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$.

Поскольку $\frac{1}{3} < 1$, мы можем использовать формулу для нахождения суммы.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{36}{1 - \frac{1}{3}}$

Сначала вычислим значение в знаменателе:

$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем сумму прогрессии:

$S = \frac{36}{\frac{2}{3}} = 36 \cdot \frac{3}{2} = \frac{36 \cdot 3}{2} = 18 \cdot 3 = 54$

Таким образом, сумма данной бесконечной геометрической прогрессии равна 54.

Ответ: 54.

3. Геометрическая прогрессия ($b_n$) задана формулой $n$-го члена $b_n = 3 \cdot 5^{n-1}$. Найдите сумму четырёх первых членов прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, заданная формулой n-го члена $b_n = 3 \cdot 5^{n-1}$. Требуется найти сумму первых четырёх членов этой прогрессии ($S_4$).

Для решения задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Прямое вычисление членов прогрессии

Найдем первые четыре члена прогрессии, подставляя в заданную формулу значения $n = 1, 2, 3, 4$.

Первый член ($n=1$): $b_1 = 3 \cdot 5^{1-1} = 3 \cdot 5^0 = 3 \cdot 1 = 3$.

Второй член ($n=2$): $b_2 = 3 \cdot 5^{2-1} = 3 \cdot 5^1 = 15$.

Третий член ($n=3$): $b_3 = 3 \cdot 5^{3-1} = 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$.

Четвёртый член ($n=4$): $b_4 = 3 \cdot 5^{4-1} = 3 \cdot 5^3 = 3 \cdot 125 = 375$.

Теперь найдём сумму этих четырёх членов:

$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 3 + 15 + 75 + 375 = 468$.

Способ 2: Использование формулы суммы геометрической прогрессии

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Из формулы n-го члена $b_n = 3 \cdot 5^{n-1}$ (которая соответствует общей формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$) видно, что первый член прогрессии $b_1 = 3$, а знаменатель прогрессии $q = 5$.

Нам нужно найти сумму первых четырёх членов, то есть $n=4$. Подставим эти значения в формулу суммы:

$S_4 = \frac{3 \cdot (5^4 - 1)}{5 - 1}$

Вычислим значение выражения:

$S_4 = \frac{3 \cdot (625 - 1)}{4} = \frac{3 \cdot 624}{4}$

Сократим дробь: $624 \div 4 = 156$.

$S_4 = 3 \cdot 156 = 468$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 468

4. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь $0,777\dots$.

Для того чтобы представить бесконечную периодическую десятичную дробь $0,777...$ в виде обыкновенной, можно использовать следующий алгебраический метод.

1. Обозначим исходное число через переменную $x$:

$x = 0,777...$

Эту дробь можно записать как $0,(7)$, где цифра в скобках — это период дроби.

2. Поскольку период состоит из одной цифры, умножим обе части уравнения на $10^1 = 10$. Это сместит десятичную запятую на один знак вправо.

$10x = 7,777...$

3. Теперь вычтем из второго уравнения ($10x = 7,777...$) первое уравнение ($x = 0,777...$). При этом бесконечная дробная часть (период) сократится.

$10x - x = 7,777... - 0,777...$

Выполнив вычитание, получим:

$9x = 7$

4. Чтобы найти $x$, разделим обе части полученного уравнения на 9:

$x = \frac{7}{9}$

Таким образом, бесконечная периодическая дробь $0,777...$ эквивалентна обыкновенной дроби $\frac{7}{9}$.

Ответ: $\frac{7}{9}$

5. Знаменатель геометрической прогрессии равен 10, а сумма четырёх первых членов равна 5555. Найдите первый член прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию задачи, знаменатель прогрессии $q = 10$, а сумма первых четырёх членов $S_4 = 5555$.

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

В нашем случае $n=4$. Подставим известные значения в формулу, чтобы найти $b_1$:

$5555 = \frac{b_1(10^4 - 1)}{10 - 1}$

Выполним вычисления в правой части уравнения:

$5555 = \frac{b_1(10000 - 1)}{9}$

$5555 = \frac{b_1 \cdot 9999}{9}$

Разделим 9999 на 9:

$5555 = b_1 \cdot 1111$

Теперь найдём $b_1$, разделив обе части уравнения на 1111:

$b_1 = \frac{5555}{1111}$

$b_1 = 5$

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 5.

Ответ: 5