Страница 93 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равна сумма четырёх первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 5$, а знаменатель прогрессии равен 4?

1) 105

2) 255

3) 425

4) 1280

1. Для решения этой задачи нужно найти сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии. Воспользуемся стандартной формулой для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $S_n$ – это сумма первых $n$ членов, $b_1$ – первый член прогрессии, а $q$ – её знаменатель.

По условию задачи нам известны следующие параметры:

Первый член прогрессии $b_1 = 5$.
Знаменатель прогрессии $q = 4$.
Количество членов, сумму которых нужно найти, $n = 4$.

Подставим эти значения в формулу:

$S_4 = \frac{5(4^4 - 1)}{4 - 1}$

Теперь выполним вычисления по шагам:

1. Сначала вычислим степень в числителе: $4^4 = 256$.

2. Подставим это значение в формулу:

$S_4 = \frac{5(256 - 1)}{4 - 1} = \frac{5 \times 255}{3}$

3. Теперь можно сократить дробь, разделив 255 на 3:

$255 \div 3 = 85$

4. Наконец, умножим полученное число на 5:

$S_4 = 5 \times 85 = 425$

Таким образом, сумма первых четырёх членов данной геометрической прогрессии равна 425.

Альтернативный способ решения:

Можно последовательно найти первые четыре члена прогрессии и сложить их.

Первый член: $b_1 = 5$.
Второй член: $b_2 = b_1 \times q = 5 \times 4 = 20$.
Третий член: $b_3 = b_2 \times q = 20 \times 4 = 80$.
Четвёртый член: $b_4 = b_3 \times q = 80 \times 4 = 320$.

Теперь найдём их сумму:

$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 5 + 20 + 80 + 320 = 425$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 425

2. Чему равна сумма бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 6$, а знаменатель прогрессии равен $0,5$?

1) 120

2) 12

3) 40

4) 4

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $S$ - это сумма прогрессии, $b_1$ - ее первый член, а $q$ - ее знаменатель. Формула применима только для бесконечно убывающих геометрических прогрессий, у которых модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В условии задачи даны:

Первый член прогрессии $b_1 = 6$.

Знаменатель прогрессии $q = 0,5$.

Сначала проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$:

$|0,5| = 0,5$. Так как $0,5 < 1$, то данная прогрессия является бесконечно убывающей, и мы можем найти ее сумму.

Теперь подставим известные значения в формулу суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{6}{1 - 0,5}$

Вычислим знаменатель дроби:

$1 - 0,5 = 0,5$

Теперь вычислим саму сумму:

$S = \frac{6}{0,5} = 12$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 12. Это соответствует варианту ответа под номером 2).

Ответ: 12

3. Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана формулой $n$-го члена $b_n = 6 \cdot 2^{n-1}$. Найдите сумму шести первых членов прогрессии.

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана формулой n-го члена $b_n = 6 \cdot 2^{n-1}$.

Общий вид формулы n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Сравнивая заданную формулу $b_n = 6 \cdot 2^{n-1}$ с общей, находим первый член и знаменатель прогрессии:

$b_1 = 6$

$q = 2$

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Нам нужно найти сумму шести первых членов, то есть $n = 6$. Подставим известные значения в формулу:

$S_6 = \frac{6(2^6 - 1)}{2 - 1}$

Выполним вычисления:

$2^6 = 64$

$S_6 = \frac{6(64 - 1)}{1}$

$S_6 = 6 \cdot 63$

$S_6 = 378$

Следовательно, сумма шести первых членов прогрессии равна 378.

Ответ: 378

4. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь $0,444...$

Чтобы представить бесконечную периодическую десятичную дробь $0,444...$ в виде обыкновенной, можно использовать следующий алгебраический метод.

1. Обозначим исходное число переменной $x$:
$x = 0,444...$

2. Период этой дроби (повторяющаяся цифра) — это 4. Он состоит из одной цифры. Умножим обе части уравнения на 10, чтобы сдвинуть запятую вправо на один знак (на длину периода):
$10x = 4,444...$

3. Теперь у нас есть два уравнения:
1) $10x = 4,444...$
2) $x = 0,444...$

Вычтем из первого уравнения второе. При этом бесконечные дробные части взаимно уничтожаются:
$10x - x = 4,444... - 0,444...$
$9x = 4$

4. Найдем $x$ из полученного уравнения:
$x = \frac{4}{9}$

Следовательно, бесконечная периодическая дробь $0,444...$ равна обыкновенной дроби $\frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$

5. Знаменатель геометрической прогрессии равен $q=3$, а сумма пяти первых членов равна $S_5=1210$. Найдите первый член прогрессии.

Для решения этой задачи используется формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — количество членов.

Согласно условию, мы имеем следующие данные:

• Знаменатель прогрессии $q = 3$.
• Сумма первых пяти членов $S_5 = 1210$.
• Количество членов $n = 5$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти неизвестный первый член $b_1$:$1210 = \frac{b_1(3^5 - 1)}{3 - 1}$

Теперь выполним последовательные вычисления:

1. Сначала вычислим степень в скобках: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.
2. Подставим это значение обратно в уравнение: $1210 = \frac{b_1(243 - 1)}{3 - 1}$.
3. Выполним вычитание в числителе и знаменателе: $1210 = \frac{b_1 \cdot 242}{2}$.
4. Упростим дробь в правой части уравнения: $1210 = b_1 \cdot 121$.

Наконец, чтобы найти $b_1$, разделим обе части уравнения на 121:$b_1 = \frac{1210}{121}$$b_1 = 10$

Проверка: если $b_1 = 10$ и $q = 3$, то первые пять членов прогрессии: 10, 30, 90, 270, 810. Их сумма: $10 + 30 + 90 + 270 + 810 = 1210$, что соответствует условию задачи.
Ответ: 10