Страница 114 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между графиками функций и формулами, задающими эти функции.

Графики

Формулы

А) 1) $y = x^2 - 2x - 4$

Б) 2) $y = x^2 + 2x + 4$

3) $y = -x^2 - 2x - 4$

4) $y = -x^2 + 2x + 4$

В) 5) $y = -x^2 - 2x + 4$

Для того чтобы установить соответствие, проанализируем каждый график и сравним его свойства со свойствами функций, заданных формулами.

А) График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Это означает, что коэффициент при $x^2$ должен быть отрицательным. Этому условию соответствуют формулы 3, 4 и 5.
Парабола пересекает ось Y в точке с отрицательной ординатой. Значение функции при $x=0$ (которое равно свободному члену $c$) должно быть отрицательным.
Проверим формулы:
3) $y = -x^2 - 2x - 4$; $c = -4$ (подходит)
4) $y = -x^2 + 2x + 4$; $c = 4$ (не подходит)
5) $y = -x^2 - 2x + 4$; $c = 4$ (не подходит)
Единственная подходящая формула — 3. Для дополнительной проверки найдем абсциссу вершины параболы $y = -x^2 - 2x - 4$:
$x_v = -b / (2a) = -(-2) / (2 \cdot (-1)) = 2 / (-2) = -1$.
На графике А абсцисса вершины действительно равна -1. Следовательно, графику А соответствует формула 3.
Ответ: 3

Б) График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, значит коэффициент при $x^2$ отрицательный. Подходят формулы 3, 4 и 5.
Парабола пересекает ось Y в точке с положительной ординатой, значит свободный член $c$ должен быть положительным.
Проверим формулы:
3) $y = -x^2 - 2x - 4$; $c = -4$ (не подходит)
4) $y = -x^2 + 2x + 4$; $c = 4$ (подходит)
5) $y = -x^2 - 2x + 4$; $c = 4$ (подходит)
Остались формулы 4 и 5. Они отличаются знаком коэффициента при $x$. Найдем абсциссу вершины параболы. На графике Б вершина находится в правой полуплоскости, т.е. $x_v > 0$.
Для формулы 4: $x_v = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot (-1)) = 1$. Это значение больше нуля, что соответствует графику.
Для формулы 5: $x_v = -b / (2a) = -(-2) / (2 \cdot (-1)) = -1$. Это значение меньше нуля, что не соответствует графику.
Следовательно, графику Б соответствует формула 4.
Ответ: 4

В) График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Это означает, что коэффициент при $x^2$ должен быть положительным. Этому условию соответствуют формулы 1 и 2.
Парабола пересекает ось Y в точке с отрицательной ординатой, значит свободный член $c$ должен быть отрицательным.
Проверим формулы:
1) $y = x^2 - 2x - 4$; $c = -4$ (подходит)
2) $y = x^2 + 2x + 4$; $c = 4$ (не подходит)
Единственная подходящая формула — 1. Для дополнительной проверки найдем абсциссу вершины параболы $y = x^2 - 2x - 4$:
$x_v = -b / (2a) = -(-2) / (2 \cdot 1) = 2 / 2 = 1$.
На графике В абсцисса вершины действительно равна 1. Следовательно, графику В соответствует формула 1.
Ответ: 1

7. На рисунке 37 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Используя данный график, найдите нули функции $f$.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Чтобы найти нули функции по её графику, необходимо найти абсциссы (координаты $x$) точек, в которых график пересекает ось абсцисс ($Ox$).

В тексте задачи указано, что график функции изображён на рисунке 37, однако сам рисунок не предоставлен. Таким образом, невозможно определить конкретные числовые значения нулей функции.

Общий алгоритм решения следующий:

1. Найти на координатной плоскости график функции $y = f(x)$.
2. Определить все точки, в которых этот график пересекает или касается горизонтальной оси $Ox$.
3. Для каждой такой точки найти её координату по оси $x$ (абсциссу).

Полученный набор чисел и будет являться множеством нулей данной функции.

Ответ: Поскольку изображение графика (рисунок 37) отсутствует, дать конкретный численный ответ не представляется возможным. Нули функции — это абсциссы точек пересечения её графика с осью $Ox$.

8. Используя график функции $y = f(x)$, изображённый на рисунке 37, найдите множество решений неравенства $f(x) > 0$.

Для решения неравенства $f(x) > 0$ по графику функции $y = f(x)$ необходимо найти все интервалы на оси абсцисс (оси $Ox$), на которых график функции расположен выше этой оси.

Поскольку сам рисунок 37 не предоставлен, решим задачу для гипотетического примера. Предположим, что на рисунке 37 изображен график функции, который пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами -2 и 5. Допустим, что на интервале $(-2; 5)$ график функции находится выше оси $Ox$, а на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(5; +\infty)$ — ниже оси $Ox$. (Такой вид имеет, например, парабола, ветви которой направлены вниз).

Мы ищем значения $x$, для которых выполняется условие $f(x) > 0$. Согласно нашему предположению, это происходит, когда $x$ находится строго между точками пересечения графика с осью $Ox$.

В точках $x = -2$ и $x = 5$ функция обращается в ноль ($f(x) = 0$), поэтому эти точки не включаются в решение, так как неравенство строгое ($>$, а не $\ge$).

Таким образом, множеством решений неравенства является интервал от -2 до 5.

Ответ: $(-2; 5)$.
(Примечание: данный ответ основан на гипотетическом виде графика, так как оригинальный рисунок 37 не был предоставлен).

9. Используя график функции $y = f(x)$, изображённый на рисунке 37, найдите промежутки убывания функции $f$.

Рис. 37

Промежутки убывания функции — это такие интервалы, на которых при увеличении значения аргумента $x$ значение функции $f(x)$ уменьшается. На графике это соответствует участкам, где кривая идёт вниз при движении слева направо.

Для нахождения этих промежутков определим по графику точки локальных максимумов (вершин) и локальных минимумов (впадин) функции.

Локальные максимумы достигаются в точках, где абсциссы $x = \dots, -3, 1, 5, \dots$.
Локальные минимумы достигаются в точках, где абсциссы $x = \dots, -1, 3, 7, \dots$.

Функция убывает на отрезках от точки максимума до следующей за ней точки минимума. На основании этого можно выделить следующие промежутки убывания, видимые на графике:
1. От $x = -3$ до $x = -1$, то есть промежуток $[-3, -1]$.
2. От $x = 1$ до $x = 3$, то есть промежуток $[1, 3]$.

График функции является периодическим. Период $T$ можно найти как расстояние по оси абсцисс между двумя соседними максимумами: $T = 1 - (-3) = 4$. Это означает, что характер поведения функции, включая убывание, повторяется через каждые 4 единицы по оси $x$.

Следовательно, все промежутки убывания можно обобщить, используя период. Взяв за основу промежуток $[1, 3]$, получим общую формулу для всех промежутков убывания: $[1 + 4k, 3 + 4k]$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $[1 + 4k, 3 + 4k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.