Страница 116 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Областью определения какой из данных функций является промежуток $(10; +\infty)$?

1) $y = \frac{1}{\sqrt{x-10}}$

2) $y = \sqrt{x-10}$

3) $y = \frac{1}{\sqrt{10-x}}$

4) $y = \sqrt{10-x}$

Чтобы определить, у какой из данных функций область определения является промежутком $(10; +\infty)$, найдем область определения для каждой из них.

1) $y = \frac{1}{\sqrt{x-10}}$

Для того чтобы функция была определена, необходимо, чтобы выражение под корнем в знаменателе было строго больше нуля (поскольку извлекать корень можно из неотрицательного числа, а делить на ноль нельзя).
$x - 10 > 0$
$x > 10$
Таким образом, область определения функции — это промежуток $(10; +\infty)$.
Ответ: $(10; +\infty)$.

2) $y = \sqrt{x-10}$

Для этой функции подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$x-10 \ge 0$
$x \ge 10$
Область определения — промежуток $[10; +\infty)$.
Ответ: $[10; +\infty)$.

3) $y = \frac{1}{\sqrt{10-x}}$

Для этой функции, как и в первом случае, подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$10 - x > 0$
$-x > -10$
При умножении на -1 знак неравенства меняется:
$x < 10$
Область определения — промежуток $(-\infty; 10)$.
Ответ: $(-\infty; 10)$.

4) $y = \sqrt{10-x}$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$10 - x \ge 0$
$-x \ge -10$
$x \le 10$
Область определения — промежуток $(-\infty; 10]$.
Ответ: $(-\infty; 10]$.

Сравнивая полученные области определения с промежутком $(10; +\infty)$, указанным в условии, приходим к выводу, что ему соответствует только функция, представленная в первом пункте.

Ответ: 1

2. Как надо параллельно перенести график функции $y = \frac{14}{x}$, чтобы получить график функции $y = \frac{14}{x-5}$?

1) на 5 единиц вверх
2) на 5 единиц вниз
3) на 5 единиц влево
4) на 5 единиц вправо

Чтобы определить, как нужно параллельно перенести график функции $y = \frac{14}{x}$, чтобы получить график функции $y = \frac{14}{x-5}$, необходимо проанализировать изменения в формуле функции. Для этого воспользуемся общими правилами преобразования графиков.

Пусть дана исходная функция $y = f(x)$. Тогда:

• График функции $y = f(x-c)$ получается из графика $y = f(x)$ параллельным переносом на $c$ единиц вправо вдоль оси абсцисс (OX).
• График функции $y = f(x+c)$ получается из графика $y = f(x)$ параллельным переносом на $c$ единиц влево вдоль оси абсцисс (OX).
• График функции $y = f(x)+c$ получается из графика $y = f(x)$ параллельным переносом на $c$ единиц вверх вдоль оси ординат (OY).
• График функции $y = f(x)-c$ получается из графика $y = f(x)$ параллельным переносом на $c$ единиц вниз вдоль оси ординат (OY).

В нашем случае исходная функция — это $f(x) = \frac{14}{x}$.

Функция, график которой нужно получить, — это $y = \frac{14}{x-5}$.

Сравнивая формулы, мы видим, что аргумент $x$ в исходной функции был заменен на выражение $(x-5)$. Таким образом, новая функция имеет вид $y = f(x-5)$.

Согласно правилу, такое преобразование соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика исходной функции на 5 единиц вправо вдоль оси OX.

Среди предложенных вариантов это соответствует пункту 4.

Ответ: 4) на 5 единиц вправо

3. График функции $y = \sqrt{x}$ параллельно перенесли на 9 единиц вправо и на 4 единицы вверх. График какой функции получили?

1) $y = \sqrt{x + 9} - 4$

2) $y = \sqrt{x + 4} - 9$

3) $y = \sqrt{x - 9} + 4$

4) $y = \sqrt{x - 4} + 9$

Чтобы определить уравнение функции после параллельного переноса, необходимо применить правила преобразования графиков. Общий вид преобразования для функции $y = f(x)$ при сдвиге на $a$ единиц по горизонтали и на $b$ единиц по вертикали имеет вид $y = f(x-a) + b$.

1. Горизонтальный сдвиг. Сдвиг графика на $a$ единиц вправо соответствует замене аргумента $x$ на $x-a$. Сдвиг влево на $a$ единиц — замене $x$ на $x+a$. В условии сказано, что график функции $y = \sqrt{x}$ переносят на 9 единиц вправо. Следовательно, мы должны заменить $x$ на $x-9$. Функция примет вид:
$y = \sqrt{x-9}$

2. Вертикальный сдвиг. Сдвиг графика на $b$ единиц вверх соответствует добавлению $b$ ко всей функции. Сдвиг вниз на $b$ единиц — вычитанию $b$. В условии сказано, что график переносят на 4 единицы вверх. Следовательно, мы должны ко всей функции, полученной на предыдущем шаге, прибавить 4:
$y = \sqrt{x-9} + 4$

Таким образом, после параллельного переноса графика функции $y = \sqrt{x}$ на 9 единиц вправо и на 4 единицы вверх мы получаем график функции $y = \sqrt{x-9} + 4$.

Сравнив полученное уравнение с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3) $y=\sqrt{x-9}+4$

4. На каком из рисунков изображён график функции

$y=(x+2)^2$

1) 2) 3) 4)

Для того чтобы определить, какой из графиков соответствует функции $y = (x + 2)^2$, необходимо проанализировать её свойства.

1. Определение типа функции и вида графика.

Функция $y = (x + 2)^2$ является квадратичной. Её график — это парабола. Раскрыв скобки, получим $y = x^2 + 4x + 4$. Коэффициент при $x^2$ равен 1, он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Все четыре предложенных графика удовлетворяют этому условию.

2. Нахождение вершины параболы.

График функции $y = (x + 2)^2$ получается из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем горизонтального сдвига.

Общий вид функции, график которой сдвинут по горизонтали, — $y = (x - x_0)^2$. Вершина такой параболы находится в точке $(x_0, 0)$.

В нашем случае уравнение $y = (x + 2)^2$ можно представить в виде $y = (x - (-2))^2$. Отсюда видно, что $x_0 = -2$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $(-2, 0)$.

3. Анализ предложенных графиков.

Теперь сравним найденные координаты вершины с предложенными на рисунках графиками:

1) Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$. Неверно.

2) Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$. Неверно.

3) Вершина параболы находится в точке $(-2, 0)$. Верно.

4) Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$. Неверно.

Таким образом, график функции $y = (x + 2)^2$ изображен на рисунке под номером 3.

Для дополнительной проверки можно найти точку пересечения графика с осью OY, подставив $x = 0$ в уравнение:

$y = (0 + 2)^2 = 2^2 = 4$.

Точка пересечения с осью OY — $(0, 4)$. На рисунке 3 мы видим, что парабола действительно проходит через эту точку.

Ответ: 3

5. Вершина какой из данных парабол принадлежит оси ординат?

1) $y = 7x - x^2$

2) $y = 7 - x^2$

3) $y = (7 - x)^2$

4) $y = (7 + x)^2$

Вершина параболы принадлежит оси ординат (оси OY), если абсцисса (координата $x$) ее вершины равна нулю. Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$, находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Таким образом, для того чтобы вершина параболы лежала на оси ординат, необходимо, чтобы коэффициент $b$ был равен нулю (при $a \neq 0$).
Рассмотрим каждый из предложенных вариантов.

1) $y = 7x - x^2$
Приведем уравнение к стандартному виду: $y = -x^2 + 7x$.
В этом уравнении коэффициенты: $a = -1$, $b = 7$, $c = 0$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot (-1)} = \frac{7}{2} = 3.5$.
Поскольку $x_v \neq 0$, вершина этой параболы не принадлежит оси ординат.

2) $y = 7 - x^2$
Приведем уравнение к стандартному виду: $y = -x^2 + 0x + 7$.
В этом уравнении коэффициенты: $a = -1$, $b = 0$, $c = 7$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
Поскольку $x_v = 0$, вершина этой параболы принадлежит оси ординат. Ее координаты $(0, 7)$.

3) $y = (7 - x)^2$
Раскроем скобки, чтобы привести уравнение к стандартному виду: $y = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot x + x^2 = 49 - 14x + x^2 = x^2 - 14x + 49$.
В этом уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = -14$, $c = 49$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-14}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$.
Поскольку $x_v \neq 0$, вершина этой параболы не принадлежит оси ординат.

4) $y = (7 + x)^2$
Раскроем скобки, чтобы привести уравнение к стандартному виду: $y = 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot x + x^2 = 49 + 14x + x^2 = x^2 + 14x + 49$.
В этом уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = 14$, $c = 49$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{14}{2 \cdot 1} = -7$.
Поскольку $x_v \neq 0$, вершина этой параболы не принадлежит оси ординат.

Таким образом, единственная парабола, вершина которой лежит на оси ординат, это парабола, заданная уравнением $y = 7 - x^2$.

Ответ: 2