Номер 5, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Вершина какой из данных парабол принадлежит оси ординат?

1) $y = 7x - x^2$

2) $y = 7 - x^2$

3) $y = (7 - x)^2$

4) $y = (7 + x)^2$

Вершина параболы принадлежит оси ординат (оси OY), если абсцисса (координата $x$) ее вершины равна нулю. Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$, находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Таким образом, для того чтобы вершина параболы лежала на оси ординат, необходимо, чтобы коэффициент $b$ был равен нулю (при $a \neq 0$).
Рассмотрим каждый из предложенных вариантов.

1) $y = 7x - x^2$
Приведем уравнение к стандартному виду: $y = -x^2 + 7x$.
В этом уравнении коэффициенты: $a = -1$, $b = 7$, $c = 0$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot (-1)} = \frac{7}{2} = 3.5$.
Поскольку $x_v \neq 0$, вершина этой параболы не принадлежит оси ординат.

2) $y = 7 - x^2$
Приведем уравнение к стандартному виду: $y = -x^2 + 0x + 7$.
В этом уравнении коэффициенты: $a = -1$, $b = 0$, $c = 7$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
Поскольку $x_v = 0$, вершина этой параболы принадлежит оси ординат. Ее координаты $(0, 7)$.

3) $y = (7 - x)^2$
Раскроем скобки, чтобы привести уравнение к стандартному виду: $y = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot x + x^2 = 49 - 14x + x^2 = x^2 - 14x + 49$.
В этом уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = -14$, $c = 49$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-14}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$.
Поскольку $x_v \neq 0$, вершина этой параболы не принадлежит оси ординат.

4) $y = (7 + x)^2$
Раскроем скобки, чтобы привести уравнение к стандартному виду: $y = 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot x + x^2 = 49 + 14x + x^2 = x^2 + 14x + 49$.
В этом уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = 14$, $c = 49$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{14}{2 \cdot 1} = -7$.
Поскольку $x_v \neq 0$, вершина этой параболы не принадлежит оси ординат.

Таким образом, единственная парабола, вершина которой лежит на оси ординат, это парабола, заданная уравнением $y = 7 - x^2$.

Ответ: 2