Страница 117 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между графиками функций и формулами, задающими эти функции.

Графики

Формулы

A) График А

Б) График Б

B) График В

1) $y = -x^2 + 3x + 4$

2) $y = -x^2 - 3x - 4$

3) $y = x^2 - 3x - 4$

4) $y = x^2 + 3x - 4$

5) $y = x^2 - 3x + 4$

Для установления соответствия необходимо проанализировать каждый график, определив ключевые параметры соответствующей ему квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$, и сопоставить их с предложенными формулами.

Проанализируем график А:

1. Ветви параболы направлены вверх, это означает, что старший коэффициент $a$ положителен ($a > 0$).
2. Парабола пересекает ось ординат ($y$) в точке $(0, 4)$. Это значит, что свободный член $c = 4$.
3. Вершина параболы находится в правой полуплоскости, то есть её абсцисса $x_v$ положительна. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Так как $a > 0$ и $x_v > 0$, то для выполнения равенства $-b$ должно быть положительным. Следовательно, $b < 0$.

Таким образом, для графика А ищем формулу, у которой $a > 0$, $b < 0$ и $c = 4$.

Среди предложенных формул этим условиям удовлетворяет только формула 5) $y = x^2 - 3x + 4$, где $a = 1$, $b = -3$, $c = 4$.

Ответ: 5

Проанализируем график Б:

1. Ветви параболы направлены вниз, это означает, что старший коэффициент $a$ отрицателен ($a < 0$).
2. Парабола пересекает ось ординат ($y$) в точке $(0, -4)$. Это значит, что свободный член $c = -4$.
3. Вершина параболы находится в левой полуплоскости, то есть её абсцисса $x_v$ отрицательна. Из формулы $x_v = -\frac{b}{2a} < 0$ и зная, что $a < 0$ (значит, $2a$ отрицательно), следует, что числитель $-b$ должен быть положительным, чтобы частное было отрицательным. Если $-b > 0$, то $b < 0$.

Таким образом, для графика Б ищем формулу, у которой $a < 0$, $b < 0$ и $c = -4$.

Среди предложенных формул этим условиям удовлетворяет только формула 2) $y = -x^2 - 3x - 4$, где $a = -1$, $b = -3$, $c = -4$.

Ответ: 2

Проанализируем график В:

1. Ветви параболы направлены вверх, это означает, что старший коэффициент $a$ положителен ($a > 0$).
2. Парабола пересекает ось ординат ($y$) в точке $(0, -4)$. Это значит, что свободный член $c = -4$.
3. Вершина параболы находится в правой полуплоскости, то есть её абсцисса $x_v$ положительна. Из формулы $x_v = -\frac{b}{2a} > 0$ и зная, что $a > 0$, следует, что числитель $-b$ должен быть положительным. Следовательно, $b < 0$.

Таким образом, для графика В ищем формулу, у которой $a > 0$, $b < 0$ и $c = -4$.

Среди предложенных формул этим условиям удовлетворяет только формула 3) $y = x^2 - 3x - 4$, где $a = 1$, $b = -3$, $c = -4$.

Ответ: 3

7. На рисунке 40 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Используя данный график, найдите нули функции $f$.

Найдите нули функции f

По определению, нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

Геометрически нули функции соответствуют абсциссам (координатам $x$) точек, в которых график функции $y = f(x)$ пересекает или касается оси абсцисс (оси $Ox$), так как на этой оси координата $y$ всегда равна нулю.

Чтобы найти нули по заданному графику, нужно:

1. Найти все точки пересечения графика с осью $Ox$.
2. Определить абсциссы этих точек.

Поскольку в условии задачи отсутствует сам рисунок 40, на котором изображён график, невозможно указать конкретные числовые значения нулей функции. Ответ на задачу зависит от того, как именно выглядит график на отсутствующем рисунке.

Например, если бы график функции пересекал ось $Ox$ в точках с абсциссами $-4$, $0$ и $2$, то нулями функции были бы числа $-4$, $0$ и $2$.

Ответ: Нулями функции являются абсциссы точек пересечения ее графика с осью $Ox$.

8. Используя график функции $y = f(x)$, изображённый на рисунке 40, найдите множество решений неравенства $f(x) < 0$.

Для решения неравенства $f(x) < 0$ с использованием графика функции $y = f(x)$, необходимо определить те значения аргумента $x$, при которых график функции находится ниже оси абсцисс (оси Ox).

Проанализируем график, представленный на рисунке:

1. Находим точки пересечения графика с осью Ox. В этих точках значение функции равно нулю, то есть $f(x) = 0$. Из графика видно, что это происходит в точках, где абсциссы равны $x = -4$ и $x = 2$.

2. Определяем промежутки, на которых график функции расположен ниже оси Ox. Это соответствует условию $f(x) < 0$. По графику видно, что кривая $y=f(x)$ находится ниже оси Ox на интервале между точками $x = -4$ и $x = 2$.

3. Таким образом, функция принимает отрицательные значения для всех $x$ из интервала $(-4; 2)$.

Поскольку неравенство строгое ($<$), сами точки $x = -4$ и $x = 2$, в которых $f(x) = 0$, не включаются в множество решений.

Ответ: $(-4; 2)$.

9. Используя график функции $y = f(x)$, изображённый на рисунке 40, найдите промежутки возрастания функции $f$.

Рис. 40

Промежутки возрастания функции — это такие промежутки, на которых при увеличении значения аргумента $x$ соответствующее значение функции $y$ также увеличивается. Графически это соответствует участкам, где кривая функции направлена вверх, если смотреть на неё слева направо.

Для определения этих промежутков по заданному графику выполним следующие шаги:

1. Определим масштаб графика.
На оси абсцисс ($x$) и оси ординат ($y$) метка «1» находится на расстоянии двух клеток от начала координат (точки «0»). Это означает, что цена одного деления (одной клетки) по обеим осям составляет 0,5 единицы.

2. Найдем точки экстремума.
Точки экстремума — это точки локальных минимумов и максимумов, в которых функция меняет направление своего изменения (с убывания на возрастание или наоборот).

• Точки локального минимума (нижние точки «впадин») на видимой части графика имеют абсциссы $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$.
• Точки локального максимума (верхние точки «пиков») на видимой части графика имеют абсциссы $x = -1$ и $x = 1$.

3. Определим промежутки возрастания.
Функция возрастает на участках от точки локального минимума до следующей за ней точки локального максимума.

• Первый такой участок начинается в точке минимума с абсциссой $x = -2$ и заканчивается в точке максимума с абсциссой $x = -1$. Таким образом, первый промежуток возрастания — это отрезок $[-2, -1]$.
• Второй участок возрастания начинается в точке минимума с абсциссой $x = 0$ и заканчивается в точке максимума с абсциссой $x = 1$. Таким образом, второй промежуток возрастания — это отрезок $[0, 1]$.

Ответ: $[-2, -1]$; $[0, 1]$.