Страница 124 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Сколько целых решений имеет неравенство $x^2 \le 2x + 3?$

Для решения данного неравенства перенесём все его члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство вида $ax^2+bx+c \le 0$.

$x^2 \le 2x + 3$

$x^2 - 2x - 3 \le 0$

Теперь найдём корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

Мы получили параболу $y = x^2 - 2x - 3$, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2 - 2x - 3 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-1; 3]$.

Теперь нам нужно найти количество целых чисел, принадлежащих этому отрезку. Перечислим их:

-1, 0, 1, 2, 3

Всего таких чисел 5.

Ответ: 5

8. При каких значениях $b$ уравнение $4x^2 - bx + 4 = 0$ не имеет корней?

Данное уравнение $4x^2 - bx + 4 = 0$ является квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ меньше нуля.

Формула дискриминанта для уравнения вида $ax^2+kx+c=0$ выглядит так: $D = k^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны: $a=4$, $k=-b$, $c=4$.

Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

$D = (-b)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = b^2 - 64$

Чтобы уравнение не имело корней, должно выполняться условие $D < 0$:

$b^2 - 64 < 0$

Решим это неравенство. Перенесем 64 в правую часть:

$b^2 < 64$

Это неравенство выполняется, когда $|b| < \sqrt{64}$, то есть $|b| < 8$.

Раскрывая модуль, получаем двойное неравенство:

$-8 < b < 8$

Таким образом, уравнение не имеет корней при значениях $b$, принадлежащих интервалу $(-8; 8)$.

Ответ: $b \in (-8; 8)$.

9. Пара чисел $(a; b)$ является решением системы уравнений $\begin{cases} x^2 - y^2 = 12, \\ x - y = 6. \end{cases}$ Найдите значение выражения $ab$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 12, \\ x - y = 6. \end{cases} $$ По условию, пара чисел $(a; b)$ является решением этой системы, что означает $x = a$ и $y = b$.

Воспользуемся формулой разности квадратов для первого уравнения: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Подставив это в систему, получим: $$ (x - y)(x + y) = 12 $$

Из второго уравнения системы нам известно, что $x - y = 6$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение: $$ 6 \cdot (x + y) = 12 $$

Разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти значение суммы $x + y$: $$ x + y = \frac{12}{6} $$ $$ x + y = 2 $$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 6, \\ x + y = 2. \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$: $$ (x - y) + (x + y) = 6 + 2 $$ $$ 2x = 8 $$ $$ x = 4 $$

Теперь подставим найденное значение $x = 4$ в любое из уравнений системы, например, в $x + y = 2$: $$ 4 + y = 2 $$ $$ y = 2 - 4 $$ $$ y = -2 $$

Решением системы является пара чисел $(4; -2)$. Следовательно, $a = 4$ и $b = -2$.

Найдем значение выражения $ab$: $$ ab = 4 \cdot (-2) = -8 $$ Ответ: -8

10. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x + 2y = 2, \\ xy - 3y = -1. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

$ \begin{cases} x + 2y = 2, \\ xy - 3y = -1. \end{cases} $

Сначала выразим переменную $x$ из первого, линейного, уравнения:

$x + 2y = 2 \implies x = 2 - 2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(2 - 2y)y - 3y = -1$

Решим полученное уравнение относительно $y$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2y - 2y^2 - 3y = -1$

$-2y^2 - y = -1$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение с положительным коэффициентом при $y^2$:

$0 = 2y^2 + y - 1$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Далее найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя выражение $x = 2 - 2y$.

Если $y_1 = \frac{1}{2}$, то:

$x_1 = 2 - 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 2 - 1 = 1$

Таким образом, первая пара решений: $(1; \frac{1}{2})$.

Если $y_2 = -1$, то:

$x_2 = 2 - 2 \cdot (-1) = 2 + 2 = 4$

Таким образом, вторая пара решений: $(4; -1)$.

В качестве проверки подставим найденные пары в исходную систему уравнений.

Для пары $(1; \frac{1}{2})$:

$1 + 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 1 + 1 = 2$

$1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) - 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1$

Оба равенства верны.

Для пары $(4; -1)$:

$4 + 2 \cdot (-1) = 4 - 2 = 2$

$4 \cdot (-1) - 3 \cdot (-1) = -4 + 3 = -1$

Оба равенства верны.

Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: $(1; \frac{1}{2}), (4; -1)$.

11. Найдите координаты точек пересечения графиков уравнений $x^2 + y^2 = 20$ и $y = x - 6$.

11. Чтобы найти координаты точек пересечения графиков, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих графиков.

Система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 20 \\ y = x - 6 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (x - 6)^2 = 20$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (x^2 - 12x + 36) = 20$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2x^2 - 12x + 36 - 20 = 0$

$2x^2 - 12x + 16 = 0$

Это квадратное уравнение. Для удобства разделим все его члены на 2:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу корней через дискриминант.

Способ 1: По теореме Виета.

Сумма корней $x_1 + x_2 = 6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 8$. Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Способ 2: Через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$

$x_1 = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Теперь найдем соответствующие ординаты, подставив значения $x$ в уравнение $y = x - 6$.

При $x_1 = 2$:

$y_1 = 2 - 6 = -4$

Первая точка пересечения имеет координаты $(2; -4)$.

При $x_2 = 4$:

$y_2 = 4 - 6 = -2$

Вторая точка пересечения имеет координаты $(4; -2)$.

Ответ: $(2; -4)$, $(4; -2)$.

12. При каких значениях $a$ прямая $8x - y = a$ имеет с параболой $y = x^2 - 2$ одну общую точку?

Чтобы найти значения параметра $a$, при которых прямая $8x - y = a$ и парабола $y = x^2 - 2$ имеют одну общую точку, нужно решить систему уравнений, описывающих эти графики. Наличие одной общей точки означает, что система уравнений должна иметь единственное решение.

Система уравнений: $ \begin{cases} 8x - y = a \\ y = x^2 - 2 \end{cases} $

Для решения системы подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$8x - (x^2 - 2) = a$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$8x - x^2 + 2 = a$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно переменной $x$:

$x^2 - 8x + a - 2 = 0$

Это квадратное уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда его дискриминант ($D$) равен нулю.

Дискриминант квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

В нашем случае коэффициенты равны: $A = 1$, $B = -8$, $C = a - 2$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 2)$

$D = 64 - 4(a - 2)$

$D = 64 - 4a + 8$

$D = 72 - 4a$

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти требуемое значение $a$:

$72 - 4a = 0$

$4a = 72$

$a = \frac{72}{4}$

$a = 18$

Следовательно, при $a=18$ прямая и парабола имеют одну общую точку (касаются друг друга).

Ответ: 18.