Страница 128 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Стол стоил 2000 р. Сначала его цену снизили, а затем повысили на одно и то же количество процентов. После этого стол стал стоить 1820 р. На сколько процентов изменяли каждый раз цену стола?

Пусть первоначальная цена стола составляла 2000 рублей, а процент, на который изменялась цена, равен $x$.

Сначала цену снизили на $x$ процентов. Новая цена составила:
$2000 \cdot (1 - \frac{x}{100})$ рублей.

Затем полученную цену повысили на $x$ процентов. Итоговая цена стала:
$(2000 \cdot (1 - \frac{x}{100})) \cdot (1 + \frac{x}{100})$ рублей.

По условию, итоговая цена составила 1820 рублей. Составим уравнение:
$2000 \cdot (1 - \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x}{100}) = 1820$

Для решения уравнения воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$2000 \cdot (1^2 - (\frac{x}{100})^2) = 1820$
$2000 \cdot (1 - \frac{x^2}{10000}) = 1820$

Разделим обе части уравнения на 2000:
$1 - \frac{x^2}{10000} = \frac{1820}{2000}$
$1 - \frac{x^2}{10000} = 0.91$

Теперь выразим $\frac{x^2}{10000}$:
$\frac{x^2}{10000} = 1 - 0.91$
$\frac{x^2}{10000} = 0.09$

Найдем $x^2$:
$x^2 = 0.09 \cdot 10000$
$x^2 = 900$

Найдем $x$, взяв квадратный корень. Так как $x$ обозначает процент, нас интересует только положительное значение.
$x = \sqrt{900}$
$x = 30$

Следовательно, цену каждый раз изменяли на 30%.

Ответ: 30%.

8. Студент на первом курсе должен выбрать один из трёх иностранных языков, который он будет изучать, и один из пяти кружков, который будет посещать. Сколько всего у студента существует вариантов выбора иностранного языка и кружка?

Для решения этой задачи применяется правило умножения из комбинаторики. У студента есть два независимых выбора: выбор иностранного языка и выбор кружка.

Пусть $N_1$ — это количество способов выбрать иностранный язык. По условию, $N_1 = 3$.

Пусть $N_2$ — это количество способов выбрать кружок. По условию, $N_2 = 5$.

Поскольку выбор языка не зависит от выбора кружка, общее количество вариантов выбора $N$ равно произведению числа вариантов для каждого выбора.

$N = N_1 \times N_2$

Подставим числовые значения в формулу:

$N = 3 \times 5 = 15$

Следовательно, у студента существует 15 различных вариантов одновременного выбора иностранного языка и кружка.

Ответ: 15

9. Сколькими способами можно рассадить четырёх человек на четырёх стульях?

Эта задача решается с помощью понятия перестановок из комбинаторики. Нам нужно найти количество всех возможных способов расположения четырёх человек на четырёх стульях. Порядок, в котором люди сидят на стульях, имеет значение, и каждый человек может занять только одно место.

Рассмотрим процесс рассадки по шагам:

1. Для первого человека есть 4 свободных стула, следовательно, у него есть 4 варианта выбора.

2. После того как первый человек сел, остаётся 3 свободных стула. Таким образом, у второго человека есть 3 варианта выбора.

3. Для третьего человека остаётся 2 свободных стула, то есть 2 варианта.

4. Последнему, четвёртому, человеку остаётся только 1 свободный стул, то есть у него всего 1 вариант.

Чтобы найти общее количество способов, необходимо перемножить количество вариантов для каждого человека. Это соответствует вычислению числа перестановок из 4 элементов, которое равно факториалу числа 4.

Формула для числа перестановок из $n$ элементов: $P_n = n!$.

В данном случае $n=4$, поэтому количество способов равно:

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Таким образом, существует 24 различных способа рассадить четырёх человек на четырёх стульях.

Ответ: 24

10. Выпущена партия из 400 лотерейных билетов. Вероятность того, что наугад выбранный билет из этой партии будет выигрышным, составляет 0,3. Сколько в этой партии билетов без выигрыша?

По условию, общее количество лотерейных билетов в партии составляет 400. Вероятность того, что случайно выбранный билет окажется выигрышным, равна 0,3. Требуется найти количество билетов без выигрыша.

Для решения задачи можно пойти двумя путями.

1. Найти количество выигрышных билетов и вычесть его из общего числа.
Чтобы найти количество выигрышных билетов, нужно общее количество билетов умножить на вероятность выигрыша:
Количество выигрышных билетов = $400 \times 0,3 = 120$.
Теперь найдем количество билетов без выигрыша, вычитая количество выигрышных билетов из общего их числа:
Количество билетов без выигрыша = $400 - 120 = 280$.

2. Найти вероятность невыигрышного билета и умножить ее на общее число билетов.
События «билет выигрышный» и «билет без выигрыша» являются противоположными, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Найдем вероятность того, что билет окажется без выигрыша:
Вероятность билета без выигрыша = $1 - 0,3 = 0,7$.
Теперь, чтобы найти количество билетов без выигрыша, умножим общее количество билетов на найденную вероятность:
Количество билетов без выигрыша = $400 \times 0,7 = 280$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 280

11. В таблице отображена информация о количестве коробок конфет, проданных кондитерским магазином в течение шести дней недели.

Поскольку в задании на изображении отсутствует конкретный вопрос, для данного набора данных будут вычислены основные статистические характеристики: среднее арифметическое, медиана, мода и размах.

Данные о количестве проданных коробок конфет за 6 дней: 180, 240, 240, 270, 270, 300.

а) Среднее арифметическое
Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все значения в наборе и разделить полученную сумму на их количество.
Сумма всех значений: $180 + 240 + 240 + 270 + 270 + 300 = 1500$.
Количество значений в наборе: 6.
Вычисляем среднее арифметическое: $\frac{1500}{6} = 250$.
Ответ: 250.

б) Медиана
Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию набора данных.
Сначала упорядочим набор данных: 180, 240, 240, 270, 270, 300.
Так как количество элементов в наборе чётное (6), медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений (третьего и четвертого). В данном случае это 240 и 270.
Вычисляем медиану: $\frac{240 + 270}{2} = \frac{510}{2} = 255$.
Ответ: 255.

в) Мода
Мода — это значение, которое встречается в наборе данных чаще всего.
В наборе 180, 240, 240, 270, 270, 300 значения 240 и 270 встречаются по два раза, в то время как остальные значения (180 и 300) — только по одному разу.
Поскольку два значения имеют одинаковую и наибольшую частоту, у этого набора данных две моды.
Ответ: 240 и 270.

г) Размах
Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в наборе данных.
Наибольшее значение в наборе: 300.
Наименьшее значение в наборе: 180.
Вычисляем размах: $300 - 180 = 120$.
Ответ: 120.

Найдите размах данной выборки.

12. По условию задачи 11 найдите среднее значение данной выборки.

Поскольку в предоставленном изображении отсутствуют данные для выборки (упомянутые в условии задачи 11), невозможно дать числовой ответ. Ниже приведено подробное объяснение, как решить каждую из задач, имея на руках необходимые данные.

Найдите размах данной выборки.

Размах выборки — это одна из мер разброса данных, которая показывает разницу между самым большим и самым маленьким значением в наборе данных.

Для вычисления размаха ($R$) используется следующая формула:
$R = x_{max} - x_{min}$
где $x_{max}$ — это максимальное (наибольшее) значение в выборке, а $x_{min}$ — это минимальное (наименьшее) значение в выборке.

Алгоритм нахождения размаха:
1. Просмотрите все числа в вашей выборке.
2. Найдите среди них самое большое число ($x_{max}$).
3. Найдите среди них самое маленькое число ($x_{min}$).
4. Вычтите из самого большого числа самое маленькое. Полученный результат и будет размахом выборки.

Пример: Предположим, дана выборка чисел: 15, 2, 8, 10, 5.
- Максимальное значение $x_{max} = 15$.
- Минимальное значение $x_{min} = 2$.
- Размах $R = 15 - 2 = 13$.

Ответ: Для нахождения размаха необходимо из максимального значения выборки вычесть минимальное.

12. По условию задачи 11 найдите среднее значение данной выборки.

Среднее значение выборки (также известное как среднее арифметическое) — это центральная тенденция набора чисел, которая вычисляется как сумма всех значений, деленная на их количество.

Формула для нахождения среднего значения ($\bar{x}$):
$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$
где $x_1, x_2, ..., x_n$ — это элементы выборки, а $n$ — общее количество элементов в выборке.

Алгоритм нахождения среднего значения:
1. Сложите все числа из вашей выборки.
2. Посчитайте, сколько всего чисел в выборке (это будет $n$).
3. Разделите полученную сумму на количество чисел.

Пример: Возьмем ту же выборку чисел: 15, 2, 8, 10, 5.
- Сумма всех элементов: $15 + 2 + 8 + 10 + 5 = 40$.
- Количество элементов $n = 5$.
- Среднее значение $\bar{x} = \frac{40}{5} = 8$.

Ответ: Для нахождения среднего значения необходимо сумму всех элементов выборки разделить на их количество.