Страница 133 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Государству принадлежит $90\ \%$ акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия за год после уплаты налогов составила $90 \text{ млн р.}$. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату дивидендов частным акционерам?

1) $8,1 \text{ млн р.}$

2) $81 \text{ млн р.}$

3) $9 \text{ млн р.}$

4) $0,9 \text{ млн р.}$

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти долю акций, принадлежащую частным лицам.
Общее количество акций составляет 100%. Государству принадлежит 90%. Следовательно, доля частных лиц составляет:
$100\% - 90\% = 10\%$

2. Рассчитать сумму дивидендов для частных акционеров.
Дивиденды распределяются пропорционально доле владения акциями. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов составляет 90 млн рублей. Частным акционерам полагается 10% от этой суммы.
Вычислим эту сумму:
$90 \text{ млн р.} \times \frac{10}{100} = 90 \times 0,1 = 9 \text{ млн р.}$
Эта сумма соответствует варианту ответа под номером 3.
Ответ: 9 млн р.

2. В прошлом году абонентная плата за пользование телефоном составляла 340 р. в месяц, а в этом году — 408 р. На сколько процентов увеличилась абонентная плата?

1) 0,2 %

2) 2 %

3) 102 %

4) 20 %

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась абонентская плата, нужно сначала найти абсолютное увеличение в рублях, а затем определить, какую долю это увеличение составляет от первоначальной цены.

1. Найдём разницу между новой и старой ценой:

$408 \text{ р.} - 340 \text{ р.} = 68 \text{ р.}$

Абонентская плата увеличилась на 68 рублей.

2. Теперь вычислим, сколько процентов составляет это увеличение (68 р.) от первоначальной платы (340 р.). Для этого разделим величину увеличения на первоначальную плату и умножим на 100%.

$\frac{68}{340} \cdot 100\%$

Сначала разделим 68 на 340:

$\frac{68}{340} = \frac{68 \div 68}{340 \div 68} = \frac{1}{5} = 0.2$

Теперь умножим полученный результат на 100, чтобы перевести в проценты:

$0.2 \cdot 100\% = 20\%$

Таким образом, абонентская плата увеличилась на 20%. Этот вариант соответствует пункту 4).

Ответ: 4) 20 %

3. Вкладчик положил в банк 100 000 р. под 4 % годовых. Сколько денег будет на его счёте через 2 года, если никаких операций со счётом, кроме ежегодного начисления процентов, проводиться не будет?

1) 100 816 р.

2) 108 160 р.

3) 104 000 р.

4) 108 000 р.

Для решения этой задачи необходимо рассчитать сумму на счёте после двух лет с учётом ежегодного начисления процентов. Это задача на сложные проценты, так как проценты за второй год начисляются на сумму, уже увеличенную процентами за первый год.

Исходные данные:

• Первоначальный вклад (P): 100 000 р.
• Годовая процентная ставка (r): 4% или 0,04 в виде десятичной дроби.
• Срок вклада (t): 2 года.

Расчёт суммы после первого года:
Найдём сумму процентов, начисленную за первый год:
$100\ 000 \times 0.04 = 4\ 000$ р.
Сумма на счёте в конце первого года составит:
$100\ 000 + 4\ 000 = 104\ 000$ р.

Расчёт суммы после второго года:
Теперь проценты начисляются на новую сумму (104 000 р.):
$104\ 000 \times 0.04 = 4\ 160$ р.
Итоговая сумма на счёте через два года будет:
$104\ 000 + 4\ 160 = 108\ 160$ р.

Также можно воспользоваться общей формулой для расчёта сложных процентов:
$S = P \times (1 + r)^t$
Подставив наши значения, получим:
$S = 100\ 000 \times (1 + 0.04)^2 = 100\ 000 \times (1.04)^2 = 100\ 000 \times 1.0816 = 108\ 160$ р.

Полученный результат соответствует варианту ответа 2).

Ответ: 108 160 р.

4. Известно, что $x = 17.9 \pm 0.1$. Какому из данных чисел может быть равным точное значение $x$?

1) 17,7

2) 17

3) 18

4) 18,1

Запись $x = 17,9 \pm 0,1$ означает, что точное значение переменной $x$ находится в определенном интервале. Чтобы найти этот интервал, нужно найти нижнюю и верхнюю границы.

Нижняя граница интервала равна:
$17,9 - 0,1 = 17,8$

Верхняя граница интервала равна:
$17,9 + 0,1 = 18,0$

Следовательно, точное значение $x$ должно лежать в пределах от $17,8$ до $18,0$ включительно. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$17,8 \le x \le 18,0$

Теперь необходимо проверить, какое из предложенных чисел попадает в этот интервал $[17,8; 18,0]$.

1) Число 17,7 не принадлежит данному интервалу, так как $17,7 < 17,8$.

2) Число 17 не принадлежит данному интервалу, так как $17 < 17,8$.

3) Число 18 принадлежит данному интервалу, так как выполняется условие $17,8 \le 18 \le 18,0$.

4) Число 18,1 не принадлежит данному интервалу, так как $18,1 > 18,0$.

Таким образом, единственным подходящим значением из предложенных является 18.

Ответ: 3

5. Чему равна абсолютная погрешность приближения числа $4.294$ числом $4.29$?

1) $0.004$

2) $0.006$

3) $0.04$

4) $0.06$

Абсолютная погрешность приближения – это модуль (абсолютная величина) разности между точным значением и его приближённым значением. Если $a$ – точное значение, а $x$ – его приближение, то абсолютная погрешность $\Delta$ вычисляется по формуле: $\Delta = |a - x|$.

В данной задаче точное значение $a = 4,294$, а приближённое значение $x = 4,29$.

Вычислим абсолютную погрешность, подставив значения в формулу:

$\Delta = |4,294 - 4,29| = |4,294 - 4,290| = |0,004| = 0,004$.

Следовательно, абсолютная погрешность равна 0,004. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: 0,004

6. Из натуральных чисел, которые больше 14 и меньше 25, наугад выбирают одно число. Установите соответствие между событиями, записанными в левом столбце, и их вероятностями, записанными в правом столбце.

События

А) выбранное число является отрицательным

Б) выбранное число кратно 5

В) выбранное число является составным

Вероятности событий

1) 0

2) 0,2

3) 0,3

4) 0,7

5) 1

Сначала определим множество натуральных чисел, которые больше 14 и меньше 25. Это числа от 15 до 24 включительно: {15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24}. Общее число таких чисел, а следовательно, и общее число равновозможных исходов эксперимента, составляет $N = 24 - 15 + 1 = 10$. Вероятность события находится по формуле классической вероятности $P = \frac{m}{N}$, где $m$ – число благоприятных исходов, а $N$ – общее число исходов.

А) выбранное число является отрицательным

В заданном множестве {15, 16, ..., 24} все числа являются натуральными, то есть положительными. Отрицательных чисел в этом множестве нет. Следовательно, число благоприятных исходов $m = 0$. Вероятность этого события равна: $P(А) = \frac{m}{N} = \frac{0}{10} = 0$. Это соответствует варианту 1) из правого столбца.

Ответ: 1

Б) выбранное число кратно 5

Найдем в нашем множестве числа, которые делятся на 5 без остатка. Это числа 15 и 20. Таким образом, число благоприятных исходов $m = 2$. Вероятность этого события равна: $P(Б) = \frac{m}{N} = \frac{2}{10} = 0,2$. Это соответствует варианту 2) из правого столбца.

Ответ: 2

В) выбранное число является составным

Составное число – это натуральное число, которое имеет больше двух делителей (т.е. делится не только на 1 и на само себя). Найдем все составные числа в нашем множестве. Простые числа в диапазоне от 15 до 24: 17, 19, 23 (всего 3 числа). Остальные числа являются составными: 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24. Подсчитаем их количество: $m = 7$. Вероятность этого события равна: $P(В) = \frac{m}{N} = \frac{7}{10} = 0,7$. Это соответствует варианту 4) из правого столбца.

Ответ: 4

7. Плащ стоил 1600 р. Сначала его цену повысили, а затем снизили на одно и то же количество процентов. После этого плащ стал стоить 1536 р. На сколько процентов изменяли каждый раз цену плаща?

Пусть первоначальная цена плаща составляет $C_0 = 1600$ рублей, а итоговая цена $C_2 = 1536$ рублей.

Обозначим искомое количество процентов как $x$. Тогда коэффициент изменения цены, выраженный десятичной дробью, равен $p = \frac{x}{100}$.

После повышения цены на $x$ процентов, новая цена $C_1$ стала:

$C_1 = C_0 \cdot (1 + p)$

После снижения цены $C_1$ на те же $x$ процентов, итоговая цена $C_2$ стала:

$C_2 = C_1 \cdot (1 - p)$

Объединим эти два шага в одно уравнение, подставив выражение для $C_1$ во второе уравнение:

$C_2 = (C_0 \cdot (1 + p)) \cdot (1 - p)$

Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, получаем:

$C_2 = C_0 \cdot (1 - p^2)$

Подставим известные значения в полученную формулу:

$1536 = 1600 \cdot (1 - p^2)$

Решим уравнение относительно $p$:

$1 - p^2 = \frac{1536}{1600}$

Упростим дробь:

$\frac{1536}{1600} = 0.96$

Теперь уравнение выглядит так:

$1 - p^2 = 0.96$

$p^2 = 1 - 0.96$

$p^2 = 0.04$

$p = \sqrt{0.04} = 0.2$

Чтобы найти количество процентов $x$, умножим $p$ на 100:

$x = 0.2 \cdot 100 = 20$

Таким образом, цену плаща каждый раз изменяли на 20%.

Ответ: 20%.