Страница 136 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Какой номер члена арифметической прогрессии $(a_n)$, равного $-19,8$, если $a_1 = 1,2$, а разность $d = -3$?

Для нахождения номера члена арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула n-го члена:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_n$ — n-й член прогрессии, $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — искомый номер члена.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

$a_n = -19,8$

$a_1 = 1,2$

$d = -3$

Подставим известные значения в формулу, чтобы составить уравнение относительно $n$:

$-19,8 = 1,2 + (n-1) \cdot (-3)$

Теперь решим это уравнение. Сначала вычтем $1,2$ из обеих частей уравнения:

$-19,8 - 1,2 = (n-1) \cdot (-3)$

$-21 = (n-1) \cdot (-3)$

Далее, разделим обе части уравнения на $-3$:

$\frac{-21}{-3} = n-1$

$7 = n-1$

Наконец, чтобы найти $n$, прибавим $1$ к обеим частям:

$n = 7 + 1$

$n = 8$

Таким образом, член арифметической прогрессии, равный $-19,8$, является восьмым членом этой прогрессии.

Ответ: 8

8. Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n = 4 - 1,7n$. Чему равна разность прогрессии?

Разность арифметической прогрессии ($d$) — это число, на которое каждый следующий член прогрессии отличается от предыдущего. Чтобы найти разность, можно вычислить два последовательных члена прогрессии и найти их разницу: $d = a_{n+1} - a_n$.

Дана формула $n$-го члена прогрессии: $a_n = 4 - 1,7n$.

Вычислим первый и второй члены прогрессии.

1. Найдём первый член ($a_1$), подставив $n=1$ в формулу:

$a_1 = 4 - 1,7 \cdot 1 = 4 - 1,7 = 2,3$

2. Найдём второй член ($a_2$), подставив $n=2$ в формулу:

$a_2 = 4 - 1,7 \cdot 2 = 4 - 3,4 = 0,6$

3. Теперь найдём разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 0,6 - 2,3 = -1,7$

Также можно заметить, что формула $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + d(n-1)$ является линейной функцией от $n$. Если её раскрыть, получим $a_n = dn + (a_1 - d)$. Коэффициент при переменной $n$ и есть разность прогрессии $d$. В заданной формуле $a_n = 4 - 1,7n$ коэффициент при $n$ равен $-1,7$, следовательно, $d = -1,7$.

Ответ: $-1,7$

9. Чему равна сумма одиннадцати первых членов арифметической прогрессии ($a_n$), если $a_1 + a_7 + a_{10} = 24$?

Для нахождения суммы первых одиннадцати членов арифметической прогрессии $S_{11}$ воспользуемся информацией, предоставленной в условии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи известно, что $a_1 + a_7 + a_{10} = 24$.

Выразим члены $a_7$ и $a_{10}$ через $a_1$ и $d$, используя формулу n-го члена:

• $a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$
• $a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

Подставим эти выражения в данное равенство: $a_1 + (a_1 + 6d) + (a_1 + 9d) = 24$

Приведем подобные слагаемые: $(a_1 + a_1 + a_1) + (6d + 9d) = 24$
$3a_1 + 15d = 24$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его: $\frac{3a_1 + 15d}{3} = \frac{24}{3}$
$a_1 + 5d = 8$

Заметим, что полученное выражение $a_1 + 5d$ соответствует шестому члену прогрессии: $a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$.
Таким образом, мы нашли, что $a_6 = 8$.

Теперь найдем сумму одиннадцати первых членов прогрессии $S_{11}$. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Подставим $n=11$ в эту формулу: $S_{11} = \frac{2a_1 + (11-1)d}{2} \cdot 11 = \frac{2a_1 + 10d}{2} \cdot 11$

Вынесем общий множитель 2 в числителе: $S_{11} = \frac{2(a_1 + 5d)}{2} \cdot 11$

Сократив дробь, получим: $S_{11} = (a_1 + 5d) \cdot 11$

Ранее мы нашли, что $a_1 + 5d = 8$. Подставим это значение в выражение для $S_{11}$: $S_{11} = 8 \cdot 11 = 88$

Ответ: 88

10. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь $0,(36)$.

Чтобы представить бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби, можно использовать следующий алгоритм:

1. Обозначим данное число переменной, например $x$.

$x = 0,(36) = 0.363636...$

2. Умножим это число на $10^k$, где $k$ — количество цифр в периоде. В данном случае в периоде (36) две цифры, значит, $k=2$. Умножаем на $10^2 = 100$.

$100x = 100 \cdot 0.363636... = 36.363636...$

3. Вычтем из полученного уравнения исходное. Это позволит избавиться от бесконечной дробной части.

$100x - x = 36.363636... - 0.363636...$

$99x = 36$

4. Решим полученное уравнение относительно $x$.

$x = \frac{36}{99}$

5. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 36 и 99 равен 9.

$x = \frac{36 \div 9}{99 \div 9} = \frac{4}{11}$

Таким образом, бесконечная дробь $0,(36)$ в виде обыкновенной дроби записывается как $\frac{4}{11}$.

Ответ: $\frac{4}{11}$

11. При каком значении $x$ значения выражений $x - 3$, $3x + 1$ и $x + 7$ являются последовательными членами арифметической прогрессии?

По определению арифметической прогрессии, разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом постоянна. Эта разность называется разностью прогрессии ($d$).

Для трех последовательных членов арифметической прогрессии $a_1$, $a_2$ и $a_3$ выполняется равенство: $a_2 - a_1 = a_3 - a_2$.

Это равенство также можно записать в виде $2a_2 = a_1 + a_3$, что означает, что средний член равен среднему арифметическому двух соседних.

В данном случае членами прогрессии являются выражения:

$a_1 = x - 3$

$a_2 = 3x + 1$

$a_3 = x + 7$

Подставим эти выражения в формулу $2a_2 = a_1 + a_3$ и решим полученное уравнение относительно $x$:

$2(3x + 1) = (x - 3) + (x + 7)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$6x + 2 = x - 3 + x + 7$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$6x + 2 = 2x + 4$

Теперь перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую:

$6x - 2x = 4 - 2$

$4x = 2$

Найдем $x$:

$x = \frac{2}{4} = 0.5$

Для проверки подставим найденное значение $x = 0.5$ в исходные выражения, чтобы найти члены прогрессии:

Первый член: $a_1 = 0.5 - 3 = -2.5$

Второй член: $a_2 = 3 \cdot 0.5 + 1 = 1.5 + 1 = 2.5$

Третий член: $a_3 = 0.5 + 7 = 7.5$

Мы получили последовательность: $-2.5; 2.5; 7.5$.

Найдем разность прогрессии:

$d = a_2 - a_1 = 2.5 - (-2.5) = 5$

$d = a_3 - a_2 = 7.5 - 2.5 = 5$

Так как разности равны, значение $x = 0.5$ найдено верно.

Ответ: $0.5$.

12. При каком значении $x$ значения выражений $x - 14$, $4x$ и $2x$ являются последовательными членами геометрической прогрессии?

Для того, чтобы три выражения $x - 14$, $4x$ и $2x$ являлись последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться характеристическое свойство геометрической прогрессии. Оно гласит, что квадрат среднего члена равен произведению двух крайних.

Обозначим члены прогрессии:

$b_1 = x - 14$

$b_2 = 4x$

$b_3 = 2x$

Согласно свойству, должно выполняться равенство:

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим данные выражения в эту формулу:

$(4x)^2 = (x - 14) \cdot 2x$

Решим полученное уравнение:

$16x^2 = 2x^2 - 28x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$16x^2 - 2x^2 + 28x = 0$

$14x^2 + 28x = 0$

Вынесем общий множитель $14x$ за скобки:

$14x(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$14x = 0 \implies x_1 = 0$

$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$

Теперь необходимо выполнить проверку для каждого из найденных корней, так как знаменатель геометрической прогрессии $q$ не может быть неопределенным.

Проверка для $x = 0$:

Найдем члены прогрессии:

$b_1 = 0 - 14 = -14$

$b_2 = 4 \cdot 0 = 0$

$b_3 = 2 \cdot 0 = 0$

Получилась последовательность: -14, 0, 0. По определению, знаменатель геометрической прогрессии $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$. Для нашей последовательности $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0}{-14} = 0$. Однако, отношение следующих членов $\frac{b_3}{b_2} = \frac{0}{0}$ не определено. Следовательно, при $x=0$ последовательность не является геометрической прогрессией в строгом смысле, так как у нее нет единого определенного знаменателя. Поэтому $x=0$ не является решением.

Проверка для $x = -2$:

Найдем члены прогрессии:

$b_1 = -2 - 14 = -16$

$b_2 = 4 \cdot (-2) = -8$

$b_3 = 2 \cdot (-2) = -4$

Получилась последовательность: -16, -8, -4. Найдем ее знаменатель:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}$

Знаменатель прогрессии постоянен и равен $\frac{1}{2}$. Следовательно, при $x=-2$ данные выражения являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Ответ: $x = -2$