Номер 9, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

9. Чему равна сумма одиннадцати первых членов арифметической прогрессии ($a_n$), если $a_1 + a_7 + a_{10} = 24$?

Для нахождения суммы первых одиннадцати членов арифметической прогрессии $S_{11}$ воспользуемся информацией, предоставленной в условии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи известно, что $a_1 + a_7 + a_{10} = 24$.

Выразим члены $a_7$ и $a_{10}$ через $a_1$ и $d$, используя формулу n-го члена:

• $a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$
• $a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

Подставим эти выражения в данное равенство: $a_1 + (a_1 + 6d) + (a_1 + 9d) = 24$

Приведем подобные слагаемые: $(a_1 + a_1 + a_1) + (6d + 9d) = 24$
$3a_1 + 15d = 24$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его: $\frac{3a_1 + 15d}{3} = \frac{24}{3}$
$a_1 + 5d = 8$

Заметим, что полученное выражение $a_1 + 5d$ соответствует шестому члену прогрессии: $a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$.
Таким образом, мы нашли, что $a_6 = 8$.

Теперь найдем сумму одиннадцати первых членов прогрессии $S_{11}$. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Подставим $n=11$ в эту формулу: $S_{11} = \frac{2a_1 + (11-1)d}{2} \cdot 11 = \frac{2a_1 + 10d}{2} \cdot 11$

Вынесем общий множитель 2 в числителе: $S_{11} = \frac{2(a_1 + 5d)}{2} \cdot 11$

Сократив дробь, получим: $S_{11} = (a_1 + 5d) \cdot 11$

Ранее мы нашли, что $a_1 + 5d = 8$. Подставим это значение в выражение для $S_{11}$: $S_{11} = 8 \cdot 11 = 88$

Ответ: 88