Номер 2, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Последовательность $(y_n)$ задана формулой $n$-го члена $y_n = 3n^2 - 8$. Какое из данных чисел является членом этой последовательности?

1) 64

2) 65

3) 66

4) 67

Чтобы определить, какое из данных чисел является членом последовательности, заданной формулой $y_n = 3n^2 - 8$, нужно для каждого числа проверить, существует ли натуральное число $n$ (порядковый номер члена), при котором значение $y_n$ будет равно этому числу.

Для этого поочередно подставим каждое из предложенных чисел в формулу вместо $y_n$ и попытаемся найти $n$.

1) 64

Проверим, может ли $y_n$ быть равным 64:

$3n^2 - 8 = 64$

$3n^2 = 64 + 8$

$3n^2 = 72$

$n^2 = \frac{72}{3}$

$n^2 = 24$

Чтобы найти $n$, нужно извлечь квадратный корень из 24. Так как 24 не является полным квадратом ($4^2=16$, $5^2=25$), то $n = \sqrt{24}$ не является натуральным числом. Следовательно, 64 не является членом этой последовательности.

2) 65

Проверим, может ли $y_n$ быть равным 65:

$3n^2 - 8 = 65$

$3n^2 = 65 + 8$

$3n^2 = 73$

$n^2 = \frac{73}{3}$

Число 73 не делится на 3 без остатка, поэтому $n^2$ не является целым числом, а значит $n$ не может быть натуральным числом. Следовательно, 65 не является членом этой последовательности.

3) 66

Проверим, может ли $y_n$ быть равным 66:

$3n^2 - 8 = 66$

$3n^2 = 66 + 8$

$3n^2 = 74$

$n^2 = \frac{74}{3}$

Число 74 не делится на 3 без остатка, поэтому $n^2$ не является целым числом, а значит $n$ не может быть натуральным числом. Следовательно, 66 не является членом этой последовательности.

4) 67

Проверим, может ли $y_n$ быть равным 67:

$3n^2 - 8 = 67$

$3n^2 = 67 + 8$

$3n^2 = 75$

$n^2 = \frac{75}{3}$

$n^2 = 25$

Решением этого уравнения является $n = 5$ (так как $n$ должно быть натуральным числом, отрицательный корень $n=-5$ не рассматриваем). Поскольку мы нашли натуральное число $n=5$, число 67 является членом данной последовательности. Это пятый член последовательности ($y_5$).

Ответ: 67